কোনো স্থানে 6 Nm^-1 এবং 3 Nm^-1 স্প্রিং ধ্রুবকবিশিষ্ট দুটি স্প্রিং শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত আছে। এ অবস্থায় এদের উপর 0.6N বল প্রয়োগ করা হলো। উক্ত স্থানে অভিকর্ষীয় ত্বরণের মান, g = 9.8 ms^-2 ।

প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় তাকে অবস্থান বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। সীমাবদ্ধ ভেক্টরের ক্ষেত্রে পাদবিন্দু নির্দিষ্ট হলেও শীর্ষবিন্দু পরিবর্তশীল। ফলে অবস্থান ভেক্টরের প্রসঙ্গ কাঠামো মূলবিন্দু যা নির্দিষ্ট হওয়ায় এটি অপরিবর্তনশীল। তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে,

প্রথম স্প্রিং ধ্রুবক, \(k_1 = 6 \text{ Nm}^{-1}\)

দ্বিতীয় স্প্রিং ধ্রুবক, \(k_2 = 3 \text{ Nm}^{-1}\)

প্রয়োগকৃত বল, \(F = 0.6 \text{ N}\)

অভিকর্ষীয় ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)

প্রথমে, প্রয়োগকৃত বল থেকে কম্পনশীল বস্তুর ভর \(m\) নির্ণয় করি:

আমরা জানি, \(F = mg\)

অতএব, \(m = \frac{F}{g} = \frac{0.6}{9.8} \text{ kg}\)

\(m \approx 0.06122 \text{ kg}\)

১. শ্রেণি সমবায়ের ক্ষেত্রে (Series Combination):

শ্রেণি সমবায়ের তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক \(k_s\) হলে:

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\)

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{k_s} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\(k_s = 2 \text{ Nm}^{-1}\)

শ্রেণি সমবায়ের কম্পাঙ্ক \(f_s\) হলে:

\(f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}}\)

\(f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2}{0.06122}}\)

\(f_s \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{32.668}\)

\(f_s \approx \frac{1}{2\pi} \times 5.7156\)

\(f_s \approx 0.9097 \text{ Hz}\)

২. সমান্তরাল সমবায়ের ক্ষেত্রে (Parallel Combination):

সমান্তরাল সমবায়ের তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক \(k_p\) হলে:

\(k_p = k_1 + k_2\)

\(k_p = 6 + 3\)

\(k_p = 9 \text{ Nm}^{-1}\)

সমান্তরাল সমবায়ের কম্পাঙ্ক \(f_p\) হলে:

\(f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}}\)

\(f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{9}{0.06122}}\)

\(f_p \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{146.994}\)

\(f_p \approx \frac{1}{2\pi} \times 12.124\)

\(f_p \approx 1.9298 \text{ Hz}\)

৩. কম্পাঙ্কের তুলনা:

শ্রেণি সমবায়ের কম্পাঙ্ক, \(f_s \approx 0.9097 \text{ Hz}\)

সমান্তরাল সমবায়ের কম্পাঙ্ক, \(f_p \approx 1.9298 \text{ Hz}\)

দেখা যাচ্ছে যে, \(f_s \neq f_p\)। অর্থাৎ, উভয় সমবায়ের মিলিত স্পন্দনের কম্পাঙ্ক এক হবে না, ভিন্ন হবে।