উত্তরঃ
উদ্দীপকে উল্লিখিত দুটি সিলিন্ডারের প্রথমটিতে সমোষ্ণ (Isothermal) প্রক্রিয়া এবং দ্বিতীয়টিতে রুদ্ধতাপীয় (Adiabatic) প্রক্রিয়া সংঘটিত হয়েছে। উভয়েই চাপ হ্রাসের মাধ্যমে প্রসারিত হয়েছে, অর্থাৎ গ্যাস দ্বারা কাজ সম্পাদিত হয়েছে। এই প্রশ্নটিতে উভয় প্রক্রিয়ার সম্পাদিত কাজের পরিমাণ নির্ণয় করে তাদের তুলনা করা এবং ফলাফলের উপর মন্তব্য করা হবে।
দেওয়া আছে:
- প্রাথমিক চাপ, \(P_1 = 1 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
- প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_1 = 123^\circ \text{C} = (123 + 273) \, \text{K} = 396 \, \text{K}\)
- মোল সংখ্যা, \(n = 2 \, \text{mol}\) (হিলিয়াম গ্যাস)
- গ্যাসের চাপ এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস পায়, তাই চূড়ান্ত চাপ, \(P_2 = P_1 - \frac{1}{3}P_1 = \frac{2}{3}P_1 = \frac{2}{3} \times 1 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
- হিলিয়াম গ্যাসের জন্য \(\gamma = 1.67\)
- সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, \(R = 8.31 \, \text{J mol}^{-1} \, \text{K}^{-1}\)
১. সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় (Isothermal process) সম্পাদিত কাজ (\(W_{iso}\)):
সমোষ্ণ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে তাপমাত্রা স্থির থাকে, তাই সম্পাদিত কাজ হবে:
\(W_{iso} = nRT_1 \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\)
\(W_{iso} = 2 \times 8.31 \times 396 \times \ln\left(\frac{1 \times 10^5}{\frac{2}{3} \times 1 \times 10^5}\right)\)
\(W_{iso} = 6582.72 \times \ln\left(\frac{3}{2}\right)\)
\(W_{iso} = 6582.72 \times \ln(1.5)\)
\(W_{iso} = 6582.72 \times 0.405465\)
\(W_{iso} \approx 2669.7 \, \text{J}\)
২. রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় (Adiabatic process) সম্পাদিত কাজ (\(W_{adia}\)):
প্রথমে রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার চূড়ান্ত তাপমাত্রা (\(T_2\)) নির্ণয় করতে হবে:
\(T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\)
\(T_2 = 396 \left(\frac{1 \times 10^5}{\frac{2}{3} \times 1 \times 10^5}\right)^{\frac{1-1.67}{1.67}}\)
\(T_2 = 396 \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{-0.67}{1.67}}\)
\(T_2 = 396 \left(1.5\right)^{-0.4012}\)
\(T_2 \approx 396 / 1.171 \approx 338.17 \, \text{K}\)
এখন, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ:
\(W_{adia} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}\)
\(W_{adia} = \frac{2 \times 8.31 \times (396 - 338.17)}{1.67 - 1}\)
\(W_{adia} = \frac{16.62 \times 57.83}{0.67}\)
\(W_{adia} = \frac{961.1646}{0.67}\)
\(W_{adia} \approx 1434.57 \, \text{J}\)
উভয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজের তুলনা করলে দেখা যায়, সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ (\(W_{iso} \approx 2669.7 \, \text{J}\)) রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজের (\(W_{adia} \approx 1434.57 \, \text{J}\)) চেয়ে বেশি। এর কারণ হলো, সমোষ্ণ প্রসারণে তাপমাত্রা স্থির রাখতে গ্যাসকে বাইরে থেকে তাপ সরবরাহ করা হয়, যা গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তিকে অক্ষুণ্ণ রেখে বা বৃদ্ধি করে আরও বেশি কাজ করতে সক্ষম করে। অন্যদিকে, রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে বাইরে থেকে কোনো তাপ সরবরাহ বা অপসারণ হয় না। ফলে গ্যাস যে কাজ করে তা তার অভ্যন্তরীণ শক্তি থেকে আসে, যার কারণে গ্যাসের তাপমাত্রা হ্রাস পায় এবং সমচাপ পরিবর্তনের জন্য কম কাজ সম্পাদিত হয়। P-V ডায়াগ্রামে একই প্রাথমিক অবস্থা থেকে একই চূড়ান্ত চাপে পৌঁছানোর জন্য সমোষ্ণ রেখা রুদ্ধতাপীয় রেখার চেয়ে কম ঢালু হয়, যার ফলে সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল বেশি হয়, অর্থাৎ কাজ বেশি হয়।
