তাপ অপরিবাহী এবং তাপমাত্রা স্থির রেখে অপরিবাহী পদার্থের তৈরি দুটি ঘর্ষণহীন পিস্টনযুক্ত সিলিন্ডারের উভয়টিতে $1\times {10}^5 Pa$ চাপে এবং 123°C তাপমাত্রায় 2 মোল হিলিয়াম গ্যাস নেয়া হলো। অতঃপর সিলিন্ডারদ্বয়ের চাপের পরিমাণ এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস করে তা পর্যবেক্ষণ করা হলো। এখানে হিলিয়াম গ্যাসের ক্ষেত্রে $\gamma = 1.67$ এবং $R=8.31 J mol{e}^{-1} K^{-1}$

তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, কোনো তাপ ইঞ্জিনের পক্ষে 100% দক্ষতা অর্জন করা সম্ভব নয়। কারণ, একটি তাপ ইঞ্জিনকে কাজ করতে হলে সর্বদা কিছু পরিমাণ তাপ বর্জন করতে হয় এবং সেই তাপকে নিম্ন তাপমাত্রার আধারে সরবরাহ করতে হয়।

একটি তাপ ইঞ্জিন উচ্চ তাপমাত্রার উৎস থেকে তাপ গ্রহণ করে তার কিছু অংশ যান্ত্রিক কাজে রূপান্তর করে এবং বাকি অংশ নিম্ন তাপমাত্রার পরিবেশে বর্জন করে। এই বর্জিত তাপের কারণেই কখনোই সম্পূর্ণ গৃহীত তাপকে কাজে রূপান্তরিত করা যায় না, ফলে ইঞ্জিনের দক্ষতা সবসময় 100% এর কম হয়।

উদ্দীপকে উল্লিখিত তাপ অপরিবাহী সিলিন্ডারে হিলিয়াম গ্যাসকে রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় প্রসারণ করা হয়েছে। এ ধরনের রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে গ্যাসের চাপ ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্কটি হলো \(T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\) । এই সমীকরণ ব্যবহার করে সিলিন্ডারের চূড়ান্ত তাপমাত্রা নির্ণয় করা সম্ভব, যেখানে \(T_1\) ও \(P_1\) হলো প্রাথমিক তাপমাত্রা ও চাপ, \(T_2\) ও \(P_2\) হলো চূড়ান্ত তাপমাত্রা ও চাপ, এবং \(\gamma\) হলো রুদ্ধতাপীয় সূচক (adiabatic index)।

উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী, হিলিয়াম গ্যাসের প্রাথমিক চাপ \(P_1 = 1 \times 10^5 \text{ Pa}\) এবং প্রাথমিক তাপমাত্রা \(T_1 = 123^\circ \text{C}\) । কেলভিন স্কেলে \(T_1 = 123 + 273.15 = 396.15 \text{ K}\) । চাপ এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস পাওয়ায় চূড়ান্ত চাপ \(P_2 = P_1 - \frac{1}{3}P_1 = \frac{2}{3}P_1 = \frac{2}{3} \times 1 \times 10^5 \text{ Pa}\) হবে। হিলিয়াম গ্যাসের জন্য রুদ্ধতাপীয় সূচক \(\gamma = 1.67\) দেওয়া আছে। অতএব, \(\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.67-1}{1.67} = \frac{0.67}{1.67} \approx 0.4012\) ।

এখন, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার সমীকরণে প্রাপ্ত মানসমূহ বসিয়ে পাই:
\(T_2 = 396.15 \text{ K} \times \left( \frac{\frac{2}{3} \times 1 \times 10^5 \text{ Pa}}{1 \times 10^5 \text{ Pa}} \right)^{0.4012}\)
\(T_2 = 396.15 \text{ K} \times \left( \frac{2}{3} \right)^{0.4012}\)
\(T_2 = 396.15 \text{ K} \times (0.66667)^{0.4012}\)
\(T_2 \approx 396.15 \text{ K} \times 0.8407\)
\(T_2 \approx 333.05 \text{ K}\)
কেলভিন স্কেল থেকে সেলসিয়াস স্কেলে রূপান্তর করলে, চূড়ান্ত তাপমাত্রা \(T_2 = 333.05 - 273.15 = 59.9^\circ \text{C}\) ।

উদ্দীপকে উল্লিখিত দুটি সিলিন্ডারের প্রথমটিতে সমোষ্ণ (Isothermal) প্রক্রিয়া এবং দ্বিতীয়টিতে রুদ্ধতাপীয় (Adiabatic) প্রক্রিয়া সংঘটিত হয়েছে। উভয়েই চাপ হ্রাসের মাধ্যমে প্রসারিত হয়েছে, অর্থাৎ গ্যাস দ্বারা কাজ সম্পাদিত হয়েছে। এই প্রশ্নটিতে উভয় প্রক্রিয়ার সম্পাদিত কাজের পরিমাণ নির্ণয় করে তাদের তুলনা করা এবং ফলাফলের উপর মন্তব্য করা হবে।

দেওয়া আছে:

    
• প্রাথমিক চাপ, \(P_1 = 1 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
    
• প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_1 = 123^\circ \text{C} = (123 + 273) \, \text{K} = 396 \, \text{K}\)
    
• মোল সংখ্যা, \(n = 2 \, \text{mol}\) (হিলিয়াম গ্যাস)
    
• গ্যাসের চাপ এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস পায়, তাই চূড়ান্ত চাপ, \(P_2 = P_1 - \frac{1}{3}P_1 = \frac{2}{3}P_1 = \frac{2}{3} \times 1 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
    
• হিলিয়াম গ্যাসের জন্য \(\gamma = 1.67\)
    
• সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, \(R = 8.31 \, \text{J mol}^{-1} \, \text{K}^{-1}\)

১. সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় (Isothermal process) সম্পাদিত কাজ (\(W_{iso}\)):
সমোষ্ণ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে তাপমাত্রা স্থির থাকে, তাই সম্পাদিত কাজ হবে:

\(W_{iso} = nRT_1 \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\)

\(W_{iso} = 2 \times 8.31 \times 396 \times \ln\left(\frac{1 \times 10^5}{\frac{2}{3} \times 1 \times 10^5}\right)\)

\(W_{iso} = 6582.72 \times \ln\left(\frac{3}{2}\right)\)

\(W_{iso} = 6582.72 \times \ln(1.5)\)

\(W_{iso} = 6582.72 \times 0.405465\)

\(W_{iso} \approx 2669.7 \, \text{J}\)

২. রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় (Adiabatic process) সম্পাদিত কাজ (\(W_{adia}\)):
প্রথমে রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার চূড়ান্ত তাপমাত্রা (\(T_2\)) নির্ণয় করতে হবে:

\(T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\)

\(T_2 = 396 \left(\frac{1 \times 10^5}{\frac{2}{3} \times 1 \times 10^5}\right)^{\frac{1-1.67}{1.67}}\)

\(T_2 = 396 \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{-0.67}{1.67}}\)

\(T_2 = 396 \left(1.5\right)^{-0.4012}\)

\(T_2 \approx 396 / 1.171 \approx 338.17 \, \text{K}\)

এখন, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ:

\(W_{adia} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}\)

\(W_{adia} = \frac{2 \times 8.31 \times (396 - 338.17)}{1.67 - 1}\)

\(W_{adia} = \frac{16.62 \times 57.83}{0.67}\)

\(W_{adia} = \frac{961.1646}{0.67}\)

\(W_{adia} \approx 1434.57 \, \text{J}\)

উভয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজের তুলনা করলে দেখা যায়, সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ (\(W_{iso} \approx 2669.7 \, \text{J}\)) রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজের (\(W_{adia} \approx 1434.57 \, \text{J}\)) চেয়ে বেশি। এর কারণ হলো, সমোষ্ণ প্রসারণে তাপমাত্রা স্থির রাখতে গ্যাসকে বাইরে থেকে তাপ সরবরাহ করা হয়, যা গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তিকে অক্ষুণ্ণ রেখে বা বৃদ্ধি করে আরও বেশি কাজ করতে সক্ষম করে। অন্যদিকে, রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে বাইরে থেকে কোনো তাপ সরবরাহ বা অপসারণ হয় না। ফলে গ্যাস যে কাজ করে তা তার অভ্যন্তরীণ শক্তি থেকে আসে, যার কারণে গ্যাসের তাপমাত্রা হ্রাস পায় এবং সমচাপ পরিবর্তনের জন্য কম কাজ সম্পাদিত হয়। P-V ডায়াগ্রামে একই প্রাথমিক অবস্থা থেকে একই চূড়ান্ত চাপে পৌঁছানোর জন্য সমোষ্ণ রেখা রুদ্ধতাপীয় রেখার চেয়ে কম ঢালু হয়, যার ফলে সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল বেশি হয়, অর্থাৎ কাজ বেশি হয়।