উদ্দীপক-১: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একবাহু a মিটার। প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল $9\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়। 

উদ্দীপক-২: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস 30 মিটার। পার্কটিকে বেষ্টন করে বাইরে 2 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটিতে ঘাস লাগাতে প্রতি বর্গমিটারে 15 টাকা খরচ হয়। 

দেওয়া আছে, সেটটি হলো { $x\in \mathrm{\mathbb{N}} : x,12$ এর গুণনীয়ক এবং 3 এর গুণিতক }

প্রথমে, 12 এর গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করি:

12 এর গুণনীয়কগুলো হলো 1, 2, 3, 4, 6, 12।

দ্বিতীয়ত, x 3 এর গুণিতক হতে হবে। আমরা জানি, 3 এর গুণিতকগুলো হলো 3, 6, 9, 12, 15, ...

এখন, যে সংখ্যাগুলো 12 এর গুণনীয়ক এবং একই সাথে 3 এর গুণিতক, সেগুলো হলো:

3, 6, 12

সুতরাং, তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত সেটটি হলো {3, 6, 12}।

দেওয়া আছে, \(f(x) = x^3 + kx^2 - 9x - 36\)। প্রশ্নমতে, \(f(3) = 0\) হবে। \(x\) এর মান 3 বসিয়ে পাই,

\(f(3) = (3)^3 + k(3)^2 - 9(3) - 36\)

\(0 = 27 + 9k - 27 - 36\)

\(0 = 9k - 36\)

\(9k = 36\)

\(k = \frac{36}{9}\)

\(k = 4\)

সুতরাং, \(K\) এর মান 4 হলে \(f(3) = 0\) হবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত সেটগুলো হলো:

প্রথমে, সেট A নির্ণয় করি:

    $A = \{ x \in \mathrm{\mathbb{N}} : x \text{মৌলিক সংখ্যা ও} x < 5 \}$

৫ এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩।

সুতরাং,     $A = \{ 2 , 3 \}$

অন্যান্য সেটগুলো হলো:

    $B = \{ 3 , 5 \}$

    $C = \{ 5 , 7 \}$

এখন, বামপক্ষ প্রমাণ করি:

    বামপক্ষ:     $( A \cup B ) \cap C$

প্রথমে     $A \cup B$     নির্ণয় করি:

    $A \cup B = \{ 2 , 3 \} \cup \{ 3 , 5 \} = \{ 2 , 3 , 5 \}$

এবার     $( A \cup B ) \cap C$     নির্ণয় করি:

    $( A \cup B ) \cap C = \{ 2 , 3 , 5 \} \cap \{ 5 , 7 \} = \left\{ 5 \right\}$

এখন, ডানপক্ষ প্রমাণ করি:

    ডানপক্ষ:     $( A \cap C ) \cup ( B \cap C )$

প্রথমে     $A \cap C$     নির্ণয় করি:

    $A \cap C = \{ 2 , 3 \} \cap \{ 5 , 7 \} = \varnothing$

এবার     $B \cap C$     নির্ণয় করি:

    $B \cap C = \{ 3 , 5 \} \cap \{ 5 , 7 \} = \left\{ 5 \right\}$

সবশেষে     $( A \cap C ) \cup ( B \cap C )$     নির্ণয় করি:

    $( A \cap C ) \cup ( B \cap C ) = \varnothing \cup \left\{ 5 \right\} = \left\{ 5 \right\}$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ।

    অতএব,     $( A \cup B ) \cap C = ( A \cap C ) \cup ( B \cap C )$     (প্রমাণিত)