উদ্দীপক আর্কিমিডিসের সূত্রকে সমর্থন করে কী-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।

আর্কিমিডিসের সূত্রানুযায়ী, কোনো বস্তুকে স্থির তরল বা গ্যাসে আংশিক বা সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি কিছু ওজন হারায়। এই হারানো ওজন বস্তু কর্তৃক অপসারিত তরল বা গ্যাসের ওজনের সমান। অর্থাৎ, বস্তুর উপর প্লবতা (Buoyant force) হলো অপসারিত তরল বা গ্যাসের ওজনের সমান। এই উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে আর্কিমিডিসের সূত্র সমর্থন করে কিনা, তা যাচাই করা হবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• বস্তুর আয়তন, \(V = 400 \text{ cm}^3 = 400 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^3\)
    
• বাতাসে বস্তুর ওজন, \(W_{বাতাস} = 19.6 \text{ N}\)
    
• পানিতে নিমজ্জিত অবস্থায় বস্তুর ওজন, \(W_{পানি} = 15.68 \text{ N}\)
    
• পরীক্ষণীয় স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)
    
• পানির ঘনত্ব, \(\rho_{পানি} = 1000 \text{ kg m}^{-3}\) (এটি একটি ধ্রুবক, যা প্রয়োজনে ব্যবহার করা হয়)

প্রথমে, বস্তুর হারানো ওজন বা প্লবতা (Buoyant force) নির্ণয় করি:

প্লবতা, \(F_B = W_{বাতাস} - W_{পানি}\)

\(F_B = 19.6 \text{ N} - 15.68 \text{ N}\)

\(F_B = 3.92 \text{ N}\)

এবার, আর্কিমিডিসের সূত্রানুসারে বস্তুটি কর্তৃক অপসারিত পানির ওজন নির্ণয় করি। যেহেতু বস্তুটি পানিতে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করা হয়েছে, তাই অপসারিত পানির আয়তন বস্তুর আয়তনের সমান হবে।

অপসারিত পানির আয়তন, \(V_{অপসারিত} = V = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^3\)

অপসারিত পানির ওজন, \(W_{অপসারিত} = V_{অপসারিত} \times \rho_{পানি} \times g\)

\(W_{অপসারিত} = (4 \times 10^{-4} \text{ m}^3) \times (1000 \text{ kg m}^{-3}) \times (9.8 \text{ ms}^{-2})\)

\(W_{অপসারিত} = 0.4 \times 9.8 \text{ N}\)

\(W_{অপসারিত} = 3.92 \text{ N}\)

পর্যবেক্ষণে দেখা যাচ্ছে যে, বস্তুর হারানো ওজন বা প্লবতা (\(3.92 \text{ N}\)) এবং বস্তু কর্তৃক অপসারিত পানির ওজন (\(3.92 \text{ N}\)) উভয়ই সমান। আর্কিমিডিসের সূত্রানুসারে, এই দুটি মান সমান হওয়া উচিত। যেহেতু পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত মান এবং সূত্রানুযায়ী গণনাকৃত মান একই হয়েছে, তাই উদ্দীপকটি আর্কিমিডিসের সূত্রকে সম্পূর্ণরূপে সমর্থন করে।