উদ্দীপক (i) এর আলোকে (m + n) এর মান নির্ণয় কর।

প্রদত্ত ধারাটি হলো: \(3 + 5 + 7 + \dots\)

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, \(a = 3\)

সাধারণ অন্তর, \(d = 5 - 3 = 2\)

পদসংখ্যা, \(n = 10\)

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্রটি হলো:

\(S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}\)

উপরোক্ত সূত্রে \(n=10\), \(a=3\) এবং \(d=2\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(S_{10} = \frac{10}{2} \{2 \times 3 + (10-1) \times 2\}\)

\(S_{10} = 5 \{6 + 9 \times 2\}\)

\(S_{10} = 5 \{6 + 18\}\)

\(S_{10} = 5 \times 24\)

\(S_{10} = 120\)

সুতরাং, ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি 120।

দেওয়া আছে, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\) হলে,

\(n\) তম পদ = \(a + (n-1)d\)

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

\(p\) তম পদ = \(q\)

\(\therefore a + (p-1)d = q\) ... (i)

এবং \(q\) তম পদ = \(p\)

\(\therefore a + (q-1)d = p\) ... (ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\(a + (p-1)d - \{a + (q-1)d\} = q - p\)

\(a + pd - d - a - qd + d = q - p\)

\(pd - qd = q - p\)

\(d(p - q) = -(p - q)\)

যদি \(p \neq q\) হয়, তাহলে উভয় পক্ষকে \((p - q)\) দ্বারা ভাগ করে,

\(d = -1\)

\(d\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(a + (p-1)(-1) = q\)

\(a - p + 1 = q\)

\(a = p + q - 1\)

এখন, ধারাটির \((p + q)\) তম পদ নির্ণয় করি:

\(T_{p+q} = a + (p+q-1)d\)

\(a\) এবং \(d\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(T_{p+q} = (p+q-1) + (p+q-1)(-1)\)

\(T_{p+q} = (p+q-1) - (p+q-1)\)

\(T_{p+q} = 0\)

অতএব, ধারাটির \((p + q)\) তম পদের মান 0।