3 + 5 + 7 +_________ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উদ্দীপক (i) অনুযায়ী, \(7, m, n, 189\) একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r\) হলে, পদগুলো হলো \(a, ar, ar^2, ar^3, \dots\)।

এখানে, প্রথম পদ \(a = 7\)

চতুর্থ পদ \(ar^3 = 189\)

প্রথম পদের মান বসিয়ে পাই,

\(7r^3 = 189\)

\(r^3 = \frac{189}{7}\)

\(r^3 = 27\)

\(r = \sqrt[3]{27}\)

\(r = 3\)

সুতরাং, দ্বিতীয় পদ \(m = ar = 7 \times 3 = 21\)

তৃতীয় পদ \(n = ar^2 = 7 \times 3^2 = 7 \times 9 = 63\)

অতএব, \((m + n) = 21 + 63 = 84\)।

গুণোত্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান থাকে। এই স্থির অনুপাতকে সাধারণ অনুপাত বলা হয়। উদ্দীপকের গুণোত্তর ধারার প্রথম ও চতুর্থ পদ ব্যবহার করে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করা হয়েছে, যার ফলে মাঝের পদগুলো \(m\) ও \(n\)-এর মান বের করা এবং তাদের যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব হয়েছে।

দেওয়া আছে, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\) হলে,

\(n\) তম পদ = \(a + (n-1)d\)

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

\(p\) তম পদ = \(q\)

\(\therefore a + (p-1)d = q\) ... (i)

এবং \(q\) তম পদ = \(p\)

\(\therefore a + (q-1)d = p\) ... (ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\(a + (p-1)d - \{a + (q-1)d\} = q - p\)

\(a + pd - d - a - qd + d = q - p\)

\(pd - qd = q - p\)

\(d(p - q) = -(p - q)\)

যদি \(p \neq q\) হয়, তাহলে উভয় পক্ষকে \((p - q)\) দ্বারা ভাগ করে,

\(d = -1\)

\(d\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(a + (p-1)(-1) = q\)

\(a - p + 1 = q\)

\(a = p + q - 1\)

এখন, ধারাটির \((p + q)\) তম পদ নির্ণয় করি:

\(T_{p+q} = a + (p+q-1)d\)

\(a\) এবং \(d\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(T_{p+q} = (p+q-1) + (p+q-1)(-1)\)

\(T_{p+q} = (p+q-1) - (p+q-1)\)

\(T_{p+q} = 0\)

অতএব, ধারাটির \((p + q)\) তম পদের মান 0।