উভয় বস্তু নিজ গ্রহ পৃষ্ঠ হতে সমান উচ্চতায় উঠতে পারবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

মুক্তি বেগ হলো এমন সর্বনিম্ন বেগ যা কোনো বস্তুকে কোনো গ্রহের মহাকর্ষ ক্ষেত্র থেকে মুক্ত করতে পারে। এটি গ্রহের ভর এবং ব্যাসার্ধের উপর নির্ভরশীল এবং এর সূত্রটি হলো \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\), যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) গ্রহের ভর এবং \(R\) গ্রহের ব্যাসার্ধ।

উদ্দীপক অনুযায়ী, প্রথম গ্রহের মুক্তি বেগ \(v_{e1} = 11.2 \text{ kms}^{-1}\) এবং দ্বিতীয় গ্রহের মুক্তি বেগ \(v_{e2} = 5.2 \text{ kms}^{-1}\)। আরও দেওয়া আছে যে প্রথম গ্রহের ভর \(M_1\) দ্বিতীয় গ্রহের ভর \(M_2\)-এর ৪ গুণ, অর্থাৎ \(M_1 = 4M_2\)। দুটি গ্রহের মুক্তি বেগের অনুপাত থেকে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত নির্ণয় করার জন্য, আমরা মুক্তি বেগের সূত্র ব্যবহার করে পাই:

এখন, \(M_1 = 4M_2\) সম্পর্কটি প্রতিস্থাপন করে পাই: \[ \frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{4M_2 R_2}{M_2 R_1}} = \sqrt{4 \frac{R_2}{R_1}} = 2 \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \] অতএব, \[ \left(\frac{v_{e1}}{v_{e2}}\right)^2 = 4 \frac{R_2}{R_1} \] বা, \[ \frac{R_1}{R_2} = 4 \left(\frac{v_{e2}}{v_{e1}}\right)^2 \] প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: \[ \frac{R_1}{R_2} = 4 \left(\frac{5.2}{11.2}\right)^2 = 4 \left(\frac{52}{112}\right)^2 = 4 \left(\frac{13}{28}\right)^2 \] \[ \frac{R_1}{R_2} = 4 \times \frac{169}{784} = \frac{676}{784} = \frac{169}{196} \] সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত দুটি গ্রহের ব্যাসার্ধের অনুপাত 169 : 196।