একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 25 সে.মি., 20 সে.মি. ও 15 সে.মি.। এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

তিনজোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

চিত্রে, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

আয়তাকার তলগুলোকে আয়তাকার ঘনবস্তুর তল বলে। প্রতিটি আয়তাকার তল ও তার বিপরীত তল দুইটি সমান। অর্থাৎ, আয়তাকার ঘনবস্তুর তিনজোড়া পরস্পর সর্বসম আয়তাকার পৃষ্ঠতল থাকে। প্রতিটি তল ও তার সন্নিহিত তল পরস্পর লম্ব। তলগুলো মিলিত হওয়ার ফলে কতগুলো ধার ও শীর্ষ উৎপন্ন হয়। আয়তাকার ঘনবস্তুর 6 টি পৃষ্ঠতল, 12টি ধার ও 8টি শীর্ষ থাকে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c

এখানে, ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF।

$∆$ABC BC | AB এবং AC অতিভুজ।

$\therefore$ $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+b^2$

আবার, $∆$ ACF এ CF$\perp$AC এবং AF অতিভুজ।

$\therefore$ $A{F}^2=A{C}^2+C{F}^2=a^2+b^2+c^2$

$\therefore$ $AF=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ  BC = b এবং উচ্চতা AH= c.

আয়াতাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল) = 2(AB$\times$BC + AB$\times$AH + BC$\times$BG)

= 2(ab+ac+bc)

= 2(ab + bc + ca)

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(ab + bc + ca)

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 20 সে.মি., প্রস্থ b = 16 সে.মি. এবং আয়তাকার ঘনবস্তুটির উচ্চতা দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

ঘনবস্তুটির উচ্চতা, $c=\frac{a}{20}=\frac{20}{2}=10$ সে.মি

আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$একক

$=\sqrt{(20{)}^2+(16{)}^2+(10{)}^2}$সে.মি

$=\sqrt{400 + 256 + 100}$ সে.মি

$=\sqrt{756}$সে.মি

$=6\sqrt{21}$ সে.মি

$=27.4955$ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 27.4955 সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 40 সে.মি.

এরং আয়তন = 12000 ঘন সে.মি.।

ধরি, ঘনবস্তুটির উচ্চতা, c = x সে.মি

ঘনবস্তুর প্রশ্ন, b = 3x সে.মি.

শর্তমতে, 40$\times$3x$\times$x = 12000

বা, 120x² = 12000

বা, $x^2=\frac{1200}{120}=100$

$\therefore$ x = 10 [বর্গমূল করে]

$\therefore$ ঘনবস্তুটির উচ্চতা, c = 10 সে.মি. এবং প্রশ্ন, b = 3$\times$10 = 30 সে.মি

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ 30 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি.।

ধরি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

দেওয়া আছে, ঘনবস্তুর প্রস্থ $b=\sqrt{8}$ সে.মি, উচ্চতা $c=\sqrt{6}$ সে.মি এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{23}$ সে.মি.।

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ একক

অর্থাৎ $\sqrt{23}=\sqrt{a^2+{\left(\sqrt{8}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$

বা,  $\sqrt{23}=\sqrt{a^2+8+6}$

বা, $23=a^2+14$ [বর্গ করে]

বা, $a^2=23-14=9$

$\therefore$ $a=3$ [বর্গমূল করে]

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও সে.মি.।