সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

তিনজোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

চিত্রে, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

আয়তাকার তলগুলোকে আয়তাকার ঘনবস্তুর তল বলে। প্রতিটি আয়তাকার তল ও তার বিপরীত তল দুইটি সমান। অর্থাৎ, আয়তাকার ঘনবস্তুর তিনজোড়া পরস্পর সর্বসম আয়তাকার পৃষ্ঠতল থাকে। প্রতিটি তল ও তার সন্নিহিত তল পরস্পর লম্ব। তলগুলো মিলিত হওয়ার ফলে কতগুলো ধার ও শীর্ষ উৎপন্ন হয়। আয়তাকার ঘনবস্তুর 6 টি পৃষ্ঠতল, 12টি ধার ও 8টি শীর্ষ থাকে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c

এখানে, ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF।

$∆$ABC BC | AB এবং AC অতিভুজ।

$\therefore$ $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+b^2$

আবার, $∆$ ACF এ CF$\perp$AC এবং AF অতিভুজ।

$\therefore$ $A{F}^2=A{C}^2+C{F}^2=a^2+b^2+c^2$

$\therefore$ $AF=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু।

এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ  BC = b এবং উচ্চতা AH= c.

আয়াতাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল) = 2(AB$\times$BC + AB$\times$AH + BC$\times$BG)

= 2(ab+ac+bc)

= 2(ab + bc + ca)

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(ab + bc + ca)

মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 25 সে.মি., প্রস্থ b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা c = 15 সে.মি.।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল =2(ab+bc+ca) = 2(25$\times$20+20$\times$15+15 $\times$25)

= 2350 বর্গ সে.মি

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2350 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 20 সে.মি., প্রস্থ b = 16 সে.মি. এবং আয়তাকার ঘনবস্তুটির উচ্চতা দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

ঘনবস্তুটির উচ্চতা, $c=\frac{a}{20}=\frac{20}{2}=10$ সে.মি

আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$একক

$=\sqrt{(20{)}^2+(16{)}^2+(10{)}^2}$সে.মি

$=\sqrt{400 + 256 + 100}$ সে.মি

$=\sqrt{756}$সে.মি

$=6\sqrt{21}$ সে.মি

$=27.4955$ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 27.4955 সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 40 সে.মি.

এরং আয়তন = 12000 ঘন সে.মি.।

ধরি, ঘনবস্তুটির উচ্চতা, c = x সে.মি

ঘনবস্তুর প্রশ্ন, b = 3x সে.মি.

শর্তমতে, 40$\times$3x$\times$x = 12000

বা, 120x² = 12000

বা, $x^2=\frac{1200}{120}=100$

$\therefore$ x = 10 [বর্গমূল করে]

$\therefore$ ঘনবস্তুটির উচ্চতা, c = 10 সে.মি. এবং প্রশ্ন, b = 3$\times$10 = 30 সে.মি

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ 30 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি.।

ধরি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

দেওয়া আছে, ঘনবস্তুর প্রস্থ $b=\sqrt{8}$ সে.মি, উচ্চতা $c=\sqrt{6}$ সে.মি এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{23}$ সে.মি.।

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ একক

অর্থাৎ $\sqrt{23}=\sqrt{a^2+{\left(\sqrt{8}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$

বা,  $\sqrt{23}=\sqrt{a^2+8+6}$

বা, $23=a^2+14$ [বর্গ করে]

বা, $a^2=23-14=9$

$\therefore$ $a=3$ [বর্গমূল করে]

নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও সে.মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 32 সে.মি,

প্রস্থ b = 24 সে.মি. এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2656 বর্গ সে.মি.

ধরি, আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = c সে.মি.

শর্তমতে, 2(ab + bc + ca) = 2656

রা, 2(32 $\times$24 + 24$\times$c + c$\times$32) = 2656

বা, 2(768 + 24c + 32c) = 2656

বা, 2(768 + 56c) = 2656

বা, 1536 + 112c = 2656

বা, 112c = 2656 - 1536 = 1120

বা, $c=\frac{1120}{112}$

$\therefore$ c=10

$\therefore$ নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা 10 সে.মি.।

কাঠের পুরুত্ব 2 সে.মি. হলে বাক্সটির ভেতরের দৈর্ঘ্য, a= (14-2$\times$1) সে.মি. = 12 সে.মি.

প্রস্থ, b = (10 – 2$\times$1) সে.মি. = 8 সে.মি. এবং উচ্চতা, c= (6-2$\times$1) সে.মি.= 4 সে.মি.

আয়তাকার বাক্সটির ভেতরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(ab + bc + ca) বর্গ একক = 2(12$\times$8 + 8$\times$4 + 4 $\times$12) বর্গ সে.মি.

= 2(96 + 32 + 48) বর্গ সে.মি.= 2 $\times$176 বর্গ সে.মি.= 352 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় বাক্সটির ভেতরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 8.8 সে.মি.

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 8.8$\times$3 সে.মি. = 26.4 সে.মি

এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, $b=\frac{26.4}{2}$সে.মি.= 13.2 সে.মি

আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = abc ঘন একক

= (26.4 $\times$13.2 $\times$8.8) ঘন সে.মি.

= 3066.624 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় আয়তন 3066.624 ঘন সে.মি.।

ধরি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b, c

প্রশ্নমতে, $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=20.5$

বা, $a^2+b^2+c^2={\left(20.5\right)}^2$

বা, $a^2+{\left(10\right)}^2+{\left(8\right)}^2=420.25$

বা, $a^2+100+64=420.25$

বা, $a^2=420.25-164=256.25$

বা,$a=\sqrt{ 256.25}$$=16$ সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ আয়তন = abc = 16 $\times$10$\times$8 = 1280 ঘন সে.মি.।

যে আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান তাকে ঘনক বলা হয়

মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক। এর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা

a ধার বিশিষ্ট ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং কর্ণ $=\sqrt{3a}$

শর্তমতে, $6a^2=6\sqrt{3a}$

বাঃ, $6a=6\sqrt{3}$

$\therefore$$a=\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $a=\sqrt{3}$একক।

আমরা জানি, ঘনকের ধার a একক হলে,

কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3a}$একক

শর্তমতে, $\sqrt{3a}=2\sqrt{6}$

বা, $a=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{2\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$

$\therefore$ ঘনকের আয়তন $a^3={\left(2\sqrt{2}\right)}^3$ঘন সে.মি.=$16\sqrt{2}$ঘন সে.মি

'নির্ণেয় ঘনকের আয়তন $16\sqrt{2}$ঘন সে.মি.।

মনে করি, ঘনকের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য= a সে.মি.

ঘনকের একটি পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a}$সে.মি

প্রশ্নমতে, $\sqrt{2a}=8\sqrt{2}$

বা, $a=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8$

a=8

$\therefore$ ঘনকের আয়তন = a³ ঘন সে.মি.

= (8)³ ঘন সে.মি.

= 512 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় ঘনকের আয়তন 512 ঘন সে.মি.।

মনে করি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = 7 সে.মি

$\therefore$ ঘনকের সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  $6a^2=6\times 7^2$ বর্গ সে.মি

$=6\times 49$ বর্গ সে.মি.

$=294$ বর্গ সে.মি

নির্ণেয় ঘনকের সম্প্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ সে.মি.।

মনে করি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

$\therefore$ ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $6a^2$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, $6a^2=600$

বা, $a^2=\frac{600}{6}$$=100$$={\left(10\right)}^2$

$\therefore$ $a=10$ [বর্গমূল করে]

$\therefore$ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

মনে করি, ঘনকটির প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য a সে.মি.

ঘনকটির একটি পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a}$সে.মি

প্রশ্নমতে, $\sqrt{2a}=10\sqrt{2}$

বা, $a=\frac{ 10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\therefore$ $a=10$

$\therefore$ঘনকটির ধার 10 সে.মি.।

মনে করি, ঘনকটির ধার a

ঘনকটির একটি পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a}$

প্রশ্নমতে, $\sqrt{2a}=2\sqrt{2}$

বা, $a=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$

$\therefore$ $a=2$

ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=6a^2=6\times 2^2$ বর্গ সে.মি.

= 6$\times$4 বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=9\sqrt{3}$ মিটার

আমরা জানি,

ঘনকের ধার এ মিটার হলে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3}a$মিটার

শর্তমতে, $\sqrt{3}a=9\sqrt{3}$

বা, $a=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a= 9$

ঘনকের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক

$= 6 \times 9^2$ বর্গমিটার $= 6 \times 81$বর্গমিটার $= 486$ বর্গমিটার

নির্ণেয় ঘনকের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল 486 বর্গমিটার

মনে করি, ঘনকটির ধার= a

ঘনকটির সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল$=6a^2$

প্রশ্নমতে, $6a^2=294$

বা, $a^2=\frac{294}{6}=49$

বা, $a=\sqrt{49}$

$\therefore$ $a=7$

$\therefore$ ঘনকটির একটি পৃষ্ঠের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a} =\sqrt{2}\times 7$মিটার

$=7\sqrt{2}$ মিটার $=9.899$ মিটার (প্রায়)

নির্ণেয় ঘনকের একটি পৃষ্ঠের কর্ণের দৈর্ঘ্য 9.899 মিটার (প্রায়)।

ধরি, ঘনকটির ধার a

এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²

এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3}a$

প্রশ্নমতে, $6a^2=1014$

বা, $a^2=\frac{1014}{6}=169$

বা, $a=\sqrt{169}=13$

$\therefore$ $a=13$

$\therefore$ ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য  $=\sqrt{3}a$$=\sqrt{3}\times 13=22.517$ মিটার (প্রায়)

নির্ণেয় ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 22.517 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, ঘনকটির ধার = a একক

ঘনকটির একটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক

এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক

প্রশ্নমতে, 6a² = 48

বা, $a^2=\frac{48}{6}$

$\therefore$ $a^2=8$

$\therefore$ ঘনকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সে.মি.।

মনে করি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

'ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $6a^2$বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $6a^2=24$

বা, $a^2=\frac{24}{6}=4=2^2$

$a=2$        

ঘনকের আয়তন $=a^3=2^3=8$ ঘন মিটার

নির্ণেয় ঘনকের আয়তন 8 ঘন মিটার।

মনে করি, ঘনকের ধার = a একক

$\therefore$ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a}$একক

প্রশ্নমতে, $\sqrt{2a}=10\sqrt{2}$

বা, $a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\therefore$ $a=10$

$\therefore$ ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3a}$একক $=\sqrt{3}\times 10$ একক

$=10\sqrt{3}$একক =17.321 একক (প্রায়)

নির্ণেয় ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 17.321 একক (প্রায়)।

দেওয়া আছে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য$=4\sqrt{3}$ সে.মি

মনে করি, ঘনকের ধার, a

প্রশ্নমতে, $\sqrt{3}a=4\sqrt{3}$

বা, $a=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$=4$

$\therefore$ ঘনকের একটি পৃষ্ঠের কর্ণের দৈর্ঘ্য=  $\sqrt{2a}=\sqrt{2}\times 4=4\sqrt{2}$ সে.মি

নির্ণেয় ঘনকের একটি পৃষ্ঠের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ সে.মি

মনে করি, ঘনকটির ধার = a মিটার

$\therefore$ ঘনকটির সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $6a^2=108$

বা, $a^2=\frac{108}{6}=18$

বা, $a=\sqrt{18}$

$\therefore$ $a=3\sqrt{2}$

ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3}a$ মিটার

$=\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}$$=7.35$ মিটার (প্রায়)

নির্ণেয় ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 7.35 মিটার (প্রায়)।

ধরি, ঘনকের ধার = a

$\therefore$ ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =$6a^2$

শর্তমতে, $6a^2=150$

বা, $a^2=\frac{150}{6}=25$

বা, $a=\sqrt{25}=5$ মিটার

$\therefore$ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2a}=\sqrt{2}\times 5=5\sqrt{2}$ মিটার

ধরি, ঘনকের ধার = a

ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²

প্রশ্নমতে, 6a² = 216

বা, $a^2= \frac{216}{6}=36$

$\therefore$ $a=6$ মিটার

$\therefore$ঘনকের ধার 6 মিটার।

কোনো আয়তক্ষেত্রের যেকোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।

দেওয়া আছে, বেলনের উচ্চতা, h = 4 সে.মি.

ভূমির ব্যাসার্ধ r=3 সে.মি

বক্রতলের ক্ষেত্রফল= 2 $\mathrm{\pi }$rh বর্গ একক

=2$\times$3.1416$\times$3$\times$4 বর্গ সে.মি = 75.398 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 75.398 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, বেলনের উচ্চতা, h = 9 সে.মি.

ভূমির ব্যাসার্ধ, r= 5 সে.মি.

বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\mathrm{\pi r} (r + h)$ বর্গ একক

$= 2\times 3.1416\times 5(5+9)$ বর্গ সে.মি.

$= 2\times 3.1416\times 5\times 14$ বর্গ সে.মি.

$=439.824$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)  

নির্ণেয় বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 439.824 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 একক

উচ্চতা, h = 5 একক

সিলিন্ডারটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\mathrm{\pi }r(r+h)$ বর্গ একক

$=2\times 3.1416\times 3 (3+5)$ বর্গ সে.মি.

$=2\times 3.1416\times 3\times 8$ বর্গ একক

$=150.7968$ বর্গ একক (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $150.7968$ বর্গ একক (প্রায়)।

সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h হলে,

সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\mathrm{\pi }r(r+h)$

শর্তমতে, $2\mathrm{\pi }r(r+h)=120\mathrm{\pi }$

বা, $r(r+h)=120\mathrm{\pi }$

বা , $r(r+h)=60$

বা, $4(4+\mathrm{h})=60$ [ভূমির ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি.]

বা, $4+\mathrm{h}=15$

বা, $\mathrm{h} =15-4$

$\therefore$ $\mathrm{h} =11$

নির্ণেয় উচ্চতা 11 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.

এবং উচ্চতা, h = 16 সে.মি.।

আমরা জানি, বেলনের আয়তন = ${\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$ ঘন একক

$=3.1416\times 8^2\times 16$ ঘন সে.মি.

$=3.1416 \times 64\times 16$ ঘন সে.মি.

$=3216.998$ সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ বেলনের আয়তন 3216.9984 ঘন সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ= r সে.মি.

$\therefore$ বেলনের উচ্চতা h = 2r সে.মি.

শর্তমতে, ${\mathrm{\pi r}}^2=452.3904$

বা, ${\mathrm{r}}^2=\frac{452.3904}{\mathrm{\pi }}$$=\frac{452.3904}{3.1416}$$=144$

বা, $\mathrm{r}=\sqrt{144}$

$\therefore$ $\mathrm{r}=12$

$\therefore$ বের্লনের উচ্চতা, h = 2r = (2$\times$12) সে.মি. = 24 সে.মি

নির্ণেয় বেলনের উচ্চতা 24 সে.মি.।

দেওয়া আছে, সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা, h = 20 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ, r=10 সে.মি.

বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=2\mathrm{\pi rh}=2\times 3.1416\times 10\times 20$ $=1256.64$ বর্গ সে.মি.

এবং ভূমির ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2=3.1416\times {10}^2$$=3.1416\times 100=314.16$ বর্গ সে.মি.

পার্থক্য $=\left(1256.64-3.1416\right)$ বর্গ সে.মি.

$= 942.48$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় পার্থক্য $942.48$ বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে,

সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা, h = 14 সে.মি

এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল= 879.648 বর্গ সে.মি

ধরি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = r সে.মি

শর্তমতে, $2\mathrm{\pi rh}=879.648$

বা, $\mathrm{r}=\frac{879.648}{2\mathrm{\pi h}}=\frac{879.648}{2\times 3.1416\times 14}=\frac{879.648}{87.9648}$

$\therefore$ $\mathrm{r}=10$

নির্ণেয় বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 10 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল= 78.54 বর্গ সে.মি.

এবং আয়তন= 1178.1 ঘন সে.মি.

আমরা জানি, বেলনের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল$\times$উচ্চতা

বা, উচ্চতা =  বেলনের আয়তন/ ভূমির ক্ষেত্রফল=$\frac{1178.1}{78.54}=15$ সে.মি

নির্ণেয় বেলনের উচ্চতা 15 সে.মি.।

দেওয়া আছে, সমৃবত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা, h = 28 সে.মি.
এবং ভূমির ক্ষেত্রফল = 706.86 বর্গ সে.মি.

শর্তমতে, ${\mathrm{\pi r}}^2=706.86$

${\mathrm{r}}^2=\frac{706.86}{\mathrm{\pi }}=\frac{706.86}{3.1416}=225$

$\mathrm{r}=\sqrt{225}=15$

বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = 15 সে.মি.।

বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল$=2\mathrm{\pi r}(\mathrm{r}+\mathrm{h})$ বর্গ একক

$= 2\times 3.1416\times 15(15+28)$ বর্গ সে.মি

$= 2\times 3.1416\times 15\times 43$ বর্গ সে.মি.

$= 4052.66$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $4052.66$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = a

এবং বেলনের উচ্চতা, h = a

$\therefore$বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\mathrm{\pi }r(r+h)$ বর্গ একক

$=2\mathrm{\pi }r(a+a)$ বর্গ একক

$=2\mathrm{\pi }r\times 2a$$=4\mathrm{\pi }{a}^2$বর্গ একক

বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল$=2\mathrm{\pi rh}=2\mathrm{\pi }\times a\times a=2{\mathrm{\pi a}}^2$ বর্গ একক

$\therefore$বেলনটির সমগ্রতল ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$$\begin{gathered} =4{\mathrm{\pi a}}^2 : 2\mathrm{\pi }{a}^2 \\ =2 : 1 \end{gathered}$$

দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং উচ্চতা, h = 7 সে.মি.

$\therefore$ সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=2\mathrm{\pi }rh=2\mathrm{\pi }\times 3\times 7$ বর্গ সে.মি.

$=42\mathrm{\pi }$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $42\mathrm{\pi }$ বর্গ সে.মি.।

এখানে, বেলনের উচ্চতা, h = 5 সে.মি.

এর ভূমির ব্যাসার্ধ r হলে,${\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=100\mathrm{\pi }$

বা, ${\mathrm{r}}^2=\frac{100\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi h}}=\frac{100\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }\times 5}=20$

$\therefore$ $\mathrm{r}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$সে.মি.।

$\therefore$ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ $2\sqrt{5}$সে.মি.।