একটি কলম, একটি রাবার ও একটি খাতার মূল্য 100 টাকা। খাতার মূল্য দুইটি কলমের মূল্যের থেকে বেশি। তিনটি কলমের মূল্য চারটি রাবারের থেকে বেশি এবং তিনটি রাবারের মূল্য একটি খাতার মূল্যের থেকে বেশি। যদি সকল মূল্যই পূর্ণ টাকায় হয় তাহলে প্রত্যেকটির মূল্য কত?

এখানে, y = 2x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 4), (-2,4) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু, y এর মান 2x থেকে ছোটও হতে পারে অর্থাৎ, y < 2x ও হতে পারে। তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার ডানের অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

এখানে, y = 3x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 6), (-2,6) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু y এর মান 3x থেকে বড়ও হতে পারে অর্থাৎ, y > 3x ও হতে পারে, তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার বাম অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

$(- 1)(- 2) \times 360 = 720$

$(- 1) \times 2(- 360) = 720$

$1(- 2)\times (- 360) = 720$

$(- 2)(- 5) \times 72 = 720$

$(- 2) \times 5(- 72) = 720$

$2(- 5)\times (- 72) = 720$

________________
________________
________________

এখানে, $1\times 2 \times 360 = 720$

$2 \times 5 \times 72 = 720$

$3 \times 5 \times 48 = 720$

$4 \times 5 \times 36 = 720$

$5 \times 9 \times 16 = 720$

$6 \times 10 \times 12 = 720$

$8 \times 9 \times 10 = 720$

$\therefore$ তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে, প্রতিক্ষেত্রে প্রাপ্ত ছোট সংখ্যাগুলো হলো : -1,-2, ______ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8

$\therefore$ এদের মধ্যে সবচেয়ে বৃহত্তম সংখ্যাটি 8.

সুতরাং তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি সর্বোচ্চ 8  হতে পারে।

এখানে ABC' সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AB = AC এবং ∠BAC = X, ∠ABC = ∠ACB = y (যেখানে x < y)।

ABC ত্রিভুজের ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক CD আঁকা হলো যা AB কে D' বিন্দুতে ছেদ করে।

এতে ABC ত্রিভুজটি ACD ও BCD দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।

BCD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, BC = CD

∠BDC = ∠DBC [ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]

বা, ∠BDC = y  [∠DBC = ∠ABC = y]

ABC ত্রিভুজে, ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB = 180°

বা, x + y + y = 180°

$\therefore$ x + 2y = 180° _________ (i)

BCD ত্রিভুজে, ∠DBC+ ∠BCD+ ∠BDC = 180°

বা, $y + \frac{y}{2}+ y = 180°$

বা, $\frac{2y + y + 2y}{2}= 180°$

বা, $\frac{5y}{2}$= 180°

বা, 5y = 360°

বা, $y=\frac{360°}{5}$

$\therefore$ y = 72°

(1) নং এ y = 72° বসিয়ে পাই, x + 2 $\times$ 72° = 180°

বা, x + 144° = 180°

বা, x = 180° - 144°

x = 36°

অতএব, প্রথম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সর্বোচ্চ 72° এবং একটি কোণ সর্বনিম্ন 36° হতে পারে।

ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y

১ম শর্তে, $xy \ge 7$

২য় শর্তে, 2(x + y) = 16

বা, x + y = 8

বা, y = 8 - x

বা, x = 8 - y ______ (i)

(1) নং হতে পাই, $(8 - y) y \ge 7$

বা, $8y-y^2 \ge 7$

বা, $y^2-8y-y+7\le 0$

বা, $(y - 7)(y - 1) \le 0$

$\therefore$ $y - 1 \ge 0$

বা, $y \ge 1$

বা, $8 - x \ge 1$

$\therefore$ $x \le 7$

এবং $y-7\le 0$

বা, $y \le 7$

বা, $8 - x \le 7$

$\therefore$ $1 \le x$

$\therefore$ আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের একটি x = 1 থেকে 7 মিটার এবং অপরটি (8 - x) মিটার।

ত্রিভুজের ভূমি x এবং উচ্চতা h হলে

প্রথম শর্তে, h ≤ 1 সে.মি. ________ (i)

২য় শর্তে, $\frac{1}{2}\times xh = 100$

বা, $h=\frac{200}{x}$ __________ (ii)

h-এর মান (i) নং এ বসিয়ে, $\frac{200}{x}\le 1$

বা, $x \ge 200$

$\therefore$ $x \ge 200$ সে.মি.

অর্থাৎ, ত্রিভুজের ভূমি 200 সে.মি. বা তার বেশি হলে এর উচ্চতা অনধিক 1 সে.মি. হলেও ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. হতে পারে। এরূপ অসংখ্য ত্রিভুজ আছে।