সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

এখানে, y = 2x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 4), (-2,4) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু, y এর মান 2x থেকে ছোটও হতে পারে অর্থাৎ, y < 2x ও হতে পারে। তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার ডানের অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

এখানে, y = 3x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 6), (-2,6) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু y এর মান 3x থেকে বড়ও হতে পারে অর্থাৎ, y > 3x ও হতে পারে, তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার বাম অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

ধরি, একটি কলম, একটি রাবার এবং একটি খাতার মূল্য যথাক্রমে x, y এবং z

১ম শর্তমতে x + y + z = 100 ________ (i)

২য় শর্তমতে, z > 2x  _________ (ii)

৩য় শর্তমতে, 3x > 4y

বা, $x > \frac{4}{3}y$ ________ (iii)

৪র্থ শর্তমতে, 3y > z ________ (iv)

(i) ও (iv) নং হতে পাই,

3y > 100 - y - x

বা, 3y + y > 100 - x

$\therefore$ 4y > 100 - x ________ (v)

(i) ও (ii) থেকে,

100 - y - x > 2x

বা, 100 - y > 2x + x

$\therefore$ 100 - y > 3x  _________ (vi)

(v) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে (vi) নং এর সাথে যোগ করে পাই,

12y + 100 - y > 300 - 3x + 3x

বা, 11y + 100 > 300

বা, 11y > 300 - 100

বা, 11y > 200

বা, $y > \frac{200}{11}$

$\therefore$ t > 18.18 যেহেতু সকল মূল্য পূর্ণ টাকায়

সেহেতু y = 19

(vi) নং হতে পাই, z < 3y _______ (vii)

(iii) নং বিবেচনা করে পাই, x = 26

(i) নং হতে পাই, 26 + 19 + z = 100

বা, 45 + z = 100

বা, z = 100 - 45

$\therefore$ z = 55

অতএব, কলম, রাবার এবং খাতার মূল্য যথাক্রমে 26 টাকা, 19 টাকা এবং 55 টাকা।

$(- 1)(- 2) \times 360 = 720$

$(- 1) \times 2(- 360) = 720$

$1(- 2)\times (- 360) = 720$

$(- 2)(- 5) \times 72 = 720$

$(- 2) \times 5(- 72) = 720$

$2(- 5)\times (- 72) = 720$

________________
________________
________________

এখানে, $1\times 2 \times 360 = 720$

$2 \times 5 \times 72 = 720$

$3 \times 5 \times 48 = 720$

$4 \times 5 \times 36 = 720$

$5 \times 9 \times 16 = 720$

$6 \times 10 \times 12 = 720$

$8 \times 9 \times 10 = 720$

$\therefore$ তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে, প্রতিক্ষেত্রে প্রাপ্ত ছোট সংখ্যাগুলো হলো : -1,-2, ______ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8

$\therefore$ এদের মধ্যে সবচেয়ে বৃহত্তম সংখ্যাটি 8.

সুতরাং তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি সর্বোচ্চ 8  হতে পারে।

এখানে ABC' সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AB = AC এবং ∠BAC = X, ∠ABC = ∠ACB = y (যেখানে x < y)।

ABC ত্রিভুজের ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক CD আঁকা হলো যা AB কে D' বিন্দুতে ছেদ করে।

এতে ABC ত্রিভুজটি ACD ও BCD দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।

BCD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, BC = CD

∠BDC = ∠DBC [ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]

বা, ∠BDC = y  [∠DBC = ∠ABC = y]

ABC ত্রিভুজে, ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB = 180°

বা, x + y + y = 180°

$\therefore$ x + 2y = 180° _________ (i)

BCD ত্রিভুজে, ∠DBC+ ∠BCD+ ∠BDC = 180°

বা, $y + \frac{y}{2}+ y = 180°$

বা, $\frac{2y + y + 2y}{2}= 180°$

বা, $\frac{5y}{2}$= 180°

বা, 5y = 360°

বা, $y=\frac{360°}{5}$

$\therefore$ y = 72°

(1) নং এ y = 72° বসিয়ে পাই, x + 2 $\times$ 72° = 180°

বা, x + 144° = 180°

বা, x = 180° - 144°

x = 36°

অতএব, প্রথম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সর্বোচ্চ 72° এবং একটি কোণ সর্বনিম্ন 36° হতে পারে।

ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y

১ম শর্তে, $xy \ge 7$

২য় শর্তে, 2(x + y) = 16

বা, x + y = 8

বা, y = 8 - x

বা, x = 8 - y ______ (i)

(1) নং হতে পাই, $(8 - y) y \ge 7$

বা, $8y-y^2 \ge 7$

বা, $y^2-8y-y+7\le 0$

বা, $(y - 7)(y - 1) \le 0$

$\therefore$ $y - 1 \ge 0$

বা, $y \ge 1$

বা, $8 - x \ge 1$

$\therefore$ $x \le 7$

এবং $y-7\le 0$

বা, $y \le 7$

বা, $8 - x \le 7$

$\therefore$ $1 \le x$

$\therefore$ আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের একটি x = 1 থেকে 7 মিটার এবং অপরটি (8 - x) মিটার।

ত্রিভুজের ভূমি x এবং উচ্চতা h হলে

প্রথম শর্তে, h ≤ 1 সে.মি. ________ (i)

২য় শর্তে, $\frac{1}{2}\times xh = 100$

বা, $h=\frac{200}{x}$ __________ (ii)

h-এর মান (i) নং এ বসিয়ে, $\frac{200}{x}\le 1$

বা, $x \ge 200$

$\therefore$ $x \ge 200$ সে.মি.

অর্থাৎ, ত্রিভুজের ভূমি 200 সে.মি. বা তার বেশি হলে এর উচ্চতা অনধিক 1 সে.মি. হলেও ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. হতে পারে। এরূপ অসংখ্য ত্রিভুজ আছে।

ধরি, সতেজ ও সজীবের হাঁটার বেগ u, দৌড়ানোর বেগ v

$( u\ne v)$ বাসা থেকে স্কুলের দূরত্ব x.

সতেজের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় সময়, $t_1=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}}{u}+\frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}}{v}=\frac{x}{2u}+\frac{x}{2v}=\frac{x}{2}\left(\frac{u+v}{uv}\right)$

সজীবের ক্ষেত্রে, হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $x_1=u \times \frac{t_2}{2}$

দৌড়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $x_2=v \times \frac{t_2}{2}$

$\therefore$ $x=x_1+x_2$

বা, $x=\frac{u t_2}{2}+\frac{v t_2}{2}$

বা, $2x=(u+v) t_2$

বা, $t_2=\frac{2x}{u+v}$

$\therefore$ $t_1\ne t_2$

অতএব, স্কুলে যেতে তাদের সমান সময় লাগবে না।