Academy
এসএসসি
গণিত
একটি গুণোত্তর ধ…

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, সাধারণ অনুপাত, ধারাটির চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ $8 \sqrt{2}$

Created: 5 months ago | Updated: 5 months ago

Updated: 5 months ago

এসএসসি গণিত গুণোত্তর ধারা

(ক)

উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তরঃ

উপরোক্ত তথ্যগুলোকে নিম্নলিখিত দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো,

ধারাটির চতুর্থ পদ, $a r^{(4 - 1)} = - 2$ [∵ n তম পদ $= a r^{(n - 1)}$ ]

বা, $a r^{3} = - 2$ …………. (i)

এবং ধারাটির নবম পদ, $a r^{(9 - 1)} = 8 \sqrt{2}$

বা, $a r^{8} = 8 \sqrt{2}$ …………. (ii)

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(খ)

ধারাটির 12 তম পদ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

ধারাটির 12 তম পদ= ar^{12 - 1}

ক-হতে প্রাপ্ত সমীকরণ (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{a r^{8}}{a r^{3}} = \frac{8 \sqrt{2}}{- 2}$

বা, $r^{5} = \frac{\sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2}}{\sqrt{2} . \sqrt{2}}$

বা, $r^{5} = \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2}$ $= {(- \sqrt{2})}^{5}$

বা, $= - \sqrt{2}$

ক-হতে প্রাপ্ত (i) নম্বর সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,

$a . {(- \sqrt{2})}^{3} = - 2$

বা, $a = \frac{- \sqrt{2} . \sqrt{2}}{- \sqrt{2} . \sqrt{2} . \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

অতএব, 12 তম পদ $= \frac{1}{\sqrt{2}} - {(- \sqrt{2})}^{11}$

$= - \frac{1}{\sqrt{2}} . {(\sqrt{2})}^{11}$

$= - {(\sqrt{2})}^{10} = - 32$

নির্ণেয় 12 তম পদ - 32.

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(গ)

ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

খ-হতে প্রাপ্ত, প্রথম পদ $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

সাধারণ অনুপাত, $r = - \sqrt{2}$

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ $= a r^{2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- \sqrt{2}) = - 1$

তৃতীয় পদ $= a r^{3 - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} {(- \sqrt{2})}^{2} = \frac{1 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} . \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

চতুর্থ পদ = $= a r^{4 - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} {(- \sqrt{2})}^{3} = - 2$ ………………..

নির্ণেয় ধারাটি, $\frac{1}{\sqrt{2}} - 1 + \sqrt{2} - 2 + . . . . . . . . . . .$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ ; যখন r < 1

সুতরাং ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি

$= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \{1 - {(- \sqrt{2})}^{7}\}}{1 - (- \sqrt{2})}$

$= \frac{1 + 8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} (1 + \sqrt{2})}$

$= \frac{(1 + 8 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ [লব ও হরকে $(\sqrt{2} - 1)$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{\sqrt{2} + 8.2 - 1 - 8 \sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)}$

$= \frac{15 - 7 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{15 \sqrt{2} - 7 . \sqrt{2} . \sqrt{2}}{\sqrt{2} . \sqrt{2}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{2}$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{1}{2} (15 \sqrt{2} - 14)$

∴ 7টি পদের সমষ্টি $\frac{1}{2} (15 \sqrt{2} - 14)$

Najjar Hossain Raju

5 months ago

CQ: 97

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, সাধারণ অনুপাত, ধারাটির চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ $8 \sqrt{2}$

Related Question

Related Question

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, সাধারণ অনুপাত, ধারাটির চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ 82

Related Question

Related Question

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, সাধারণ অনুপাত, ধারাটির চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ $8 \sqrt{2}$