$1^2+2^2+3^2+............+{10}^2=$ কত?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি S_n

অর্থাৎ, $S_n=1+2+3+.........+ (n - 1) + n$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে। পাওয়া যায়,

$\left(+\right) করে2S_n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +.........+(n+1)|$n সংখ্যক পদ]

বা, $2S_n=n(n+1)$

$\therefore$$S_n=\frac{n(n+1)}{২}$

নির্ণেয় n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $\frac{n(n+1)}{২}$

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাকি সংখ্যার ঘনের সমষ্টি , $S_n={\left\{\frac{\left(n\right(n+1)}{২}\right\}}^2$

$\therefore$ প্রথম সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_{35}={\left\{\frac{35(35+1)}{2}\right\}}^2={\left(\frac{35\times 36}{2}\right)}^2$

                                                           $=(35\times 18{)}^2=(630{)}^2=396900$

নির্ণেয় সমষ্টি 396900

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি , $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\therefore$ ১ম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{20}=\frac{20(20+1)}{2}$

                                                                    $= \frac{20 \times 21}{2} = \frac{420}{2}= 210$

নির্ণেয় ১ম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 210.

দেওয়া আছে, ধারার প্রথম পদের সমষ্টি, $S_n=n\times (n+1)$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি $S_{10}=10(10+1)$

                                                                    $=10 \times 11 = 110$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি 110.

প্রদত্ত ধারাটি : $1^1+2^1+3^3+..............+{15}^3$ ধারাটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির ধারা

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ${\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

$\therefore$ ধারাটির সমষ্টি $={\left\{\frac{15(15+1)}{2}\right\}}^2$

                               $= \frac{225 \times 16 \times 16}{4}= 225 \times 64 = 14400$

নির্ণেয় ধারাটির সমষ্টি 14400.

প্রদত্ত ধারাটি: $1^3+2^3+3^3+.........+{10}^3$

ধারাটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $={\left\{\frac{n(n+1))}{2}\right\}}^2$

$\therefore 1^3+2^3+3^3..............+{10}^3={\left\{\frac{10\left(10+1\right)}{2}\right\}}^2={\left(\frac{10\times 11}{2}\right)}^2$

                                                                      ${\left(5\times 11\right)}^2={\left(55\right)}^2=3025$

নির্ণেয় মান 3025.