একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(1, 1), B(4, 4), C(4, ৪) এবং D(1, 5).

সরলরেখার বিন্দু দুইটি $A(1, 1)$ এবং $C(4,8)$

AC সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

বা, $\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-1}{1-8}$

বা, $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-1}{-7}$

বা,  $7x - 7 = 3y - 3$

বা,  $7x - 3y = - 3 + 7$

$\therefore$ $7x - 3y = 4$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $7x - 3y = 4$

ABCD চতুর্ভুজটি বিন্দু পাতনের মাধ্যমে XY সমতলে দেখানো হলো:

ধরি, a, b, c, d যথাক্রমে AB, BC, CD এবং DA বাহুর দৈর্ঘ্য এবং কর্ণ AC = c এবং BD = f

তাহলে,  $a=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(4-1\right)}^2}$

$=\sqrt{3^2+3^2}$ একক

$=3\sqrt{2}$ একক

$b=\sqrt{{\left(4-4\right)}^2+{\left(8-4\right)}^2}$

$=\sqrt{0^2+4^2}$ একক

$=4$ একক

$c=\sqrt{{\left(1-4\right)}^2+{\left(5-8\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}$একক

$=\sqrt{9+9}$ একক

$=3\sqrt{2}$ একক

এবং $d=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{0^2+{\left(-4\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{0+16}$ একক

$=4$ একক

আবার কর্ণ= $e=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(8-1\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{3^2+7^2}$ একক

$=\sqrt{9+49}$ একক

$=\sqrt{58}$ একক

এবং কর্ণ $f=\sqrt{{\left(1-4\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}$একক

$=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}$ একক

$=\sqrt{9+1}$ একক

$=\sqrt{10}$ একক

যেহেতু, a = c এবং b = d এবং কর্ণ $e\ne$কর্ণ $f$

$\therefore$ $ABCD$একটি সামান্তরিক।

অর্থাৎ বিন্দু চারটি ABCD সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের মাধ্যমে নির্ণয় :

ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল= $∆$ক্ষেত্র ABD + $∆$ক্ষেত্র BCD $=2 ∆$ ক্ষেত্র ABD

এখন,$∆$ক্ষেত্র ABD-এর

AB এর দৈর্ঘ্য, $a=3\sqrt{2}$একক $= 4.243$ একক

BD এর দৈর্ঘ্য,  $f=\sqrt{10}$ $=3.162$ একক

DA এর দৈর্ঘ্য, d = 4 একক = 4 একক

$\therefore$পরিসীমা,  $2S=(4.243+3.162+4)$ একক।

অতএব, $∆ABD$ এর ক্ষেত্রফল

$=\sqrt{S(S-a)(S-f)(S-d)}$

$=\sqrt{5.703 (5.703-4.243)(5.703-3.162)(5.703-4)}$ বর্গ একক

$=\sqrt{5.703\times 1.46\times 2.541\times 1.703}$ বর্গ একক

$=6.003$ বর্গ একক

সুতরাং $ABCD$সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল $=2\times 6.003$

$=12.006$ বর্গ একক।

মনে করি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে  $\underline{a}, \underline{b},\underline{c}$ এবং $\underline{d}$

$\therefore$ P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}\left(\underline{a}+\underline{b}\right)$

      Q     ‘’           ‘’          ‘’     $=\frac{1}{2}\left(\underline{b}+\underline{c}\right)$

       R     ‘’           ‘’          ‘’       $=\frac{1}{2}\left(\underline{c}+\underline{d}\right)$

S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর         $=\frac{1}{2}\left(\underline{d}+\underline{a}\right)$   

$\therefore$ $\overrightarrow{PQ }=\frac{1}{2}\left(\underline{b}+\underline{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\underline{a}+\underline{b}\right)=\frac{1}{2}\left(\underline{b}+\underline{c}-\underline{a}-\underline{b}\right)=\frac{1}{2}\left(\underline{c}-\underline{a}\right)$

অনুরূপভাবে,  $\overrightarrow{QR }=\frac{1}{2}\left(\underline{d}-\underline{b}\right); \overrightarrow{RS }=\frac{1}{2}\left(\underline{a}-\underline{c}\right); \overrightarrow{SP }=\frac{1}{2}\left(\underline{b}-\underline{d}\right)$

কিন্তু  $\overrightarrow{PQ }=\frac{1}{2}\left(\underline{c}-\underline{a}\right)=\frac{1}{2}\left(\underline{a}-\underline{c}\right)=- \overrightarrow{RS }=\overrightarrow{SR }$

$\therefore$ PQ এবং SR সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে QR ও PS সমান ও সমান্তরাল।

$\therefore$ PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)