একটি চৌবাচ্চা ১ম ও ২য় নলদ্বারা যথাক্রমে ৩০ মিনিট ও ৪০ মিনিট পূর্ণহতে পারে। আবার অন্য একটি নলদ্বারা পূর্ণ চৌবাচ্চাটি ২০ মিনিটে খালি হয়। তিনটি নল এক সাথে চালু করলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে।

প্রথম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \frac{1}{p} \) অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \frac{1}{q} \) অংশ

তৃতীয় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = \( \frac{1}{r} \) অংশ

যখন তিনটি নল একসঙ্গে খোলা থাকে, তখন ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - \frac{1}{r} \right) \) অংশ

= \( \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \) অংশ

৩য় নলটি s মিনিট পর বন্ধ করা হয়। সুতরাং, প্রথম s মিনিটে পিপাটি পূর্ণ হয় = \( s \times \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \) অংশ

এখন, পিপাটির অবশিষ্ট অংশ যা পূর্ণ করতে হবে = \( 1 - s \times \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \)

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr} \) অংশ

৩য় নলটি বন্ধ করার পর, পিপাটি প্রথম দুটি নল দ্বারা পূর্ণ হবে। প্রথম দুটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \right) \) অংশ

= \( \left( \frac{q+p}{pq} \right) \) অংশ

অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করতে প্রথম দুটি নলের সময় লাগবে = \( \frac{\text{অবশিষ্ট অংশ}}{\text{১ মিনিটে পূর্ণ করা অংশ}} \)

= \( \frac{\frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr}}{\frac{q+p}{pq}} \) মিনিট

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr} \times \frac{pq}{q+p} \) মিনিট

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{r(q+p)} \) মিনিট

অতএব, পিপাটি মোট পূর্ণ হতে সময় লাগবে = (প্রথম s মিনিট + অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করতে লাগা সময়)

= \( s + \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{r(q+p)} \) মিনিট

ধরি, চৌবাচ্চায় এক্স x মিটার পানি ধরে।

১ম নল দ্বারা,

১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = x লিটার

∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১০}$ লিটার

এখন, উভয় নল চললে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১০} -১২ = \frac{x -১২০}{১০}$ লিটার

∴ উভয় নল চললে ৯০ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x-১২০}{১০} \times ৯০ = ৯ \left(x -১২০\right)$লিটার

প্রশ্নমতে,  x = ৯(x – ১২০)

$$\begin{gathered} \Rightarrow x = ৯x - ১০৮০ \\ \Rightarrow ৮x = ১০৮০ \\ \therefore x = \frac{১০৮০}{৮} = ১৩৫ \end{gathered}$$

অর্থাৎ চৌবাচ্চায় পানি ধরে ১৩৫ লিটার।

In 1 minute, first pipe can fill  $\frac{1}{12}$ part of tank.

Let, second pipe can empty the tank in x minutes.

∴ In 1 minute, it can empty  $\frac{1}{x}$ part of tank.

That means, the tank is filled in 1 minutes $\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{x}\right)$ Part

According to question, $\frac{1}{12} - \frac{1}{x} = \frac{1}{96}$

$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{96} = \frac{8-1}{96} = \frac{7}{96}$

$\therefore x = \frac{96}{7} minutes$

∴ The tank contains $= 14 \times \frac{96}{7}$ = 192 liters.

Basin is filled by Ain 5 hours

$\therefore$In 1 hour, $\frac{1}{5}$part of Basin is filled

Similarly by ‘ B’ in 1 hour, $\frac{1}{8}$ part of Basin is filled

The both tap can fill in 1 hour =$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}$ part of Basin

As, the leak can empty the fill Basin in 20 hours

$\therefore$ In 1 hour, the leak can empty $\frac{1}{20}$ part of Basin.

$\therefore$The amount of water remain in the Basin in 1 hour=$\frac{13}{40}-\frac{1}{20}=\frac{13-2}{40}=\frac{11}{40}$ part of Basin

Thus, while two taps are working,

$\frac{11}{40}$ of the Basin is filled in = 1 hour

$\therefore$ 1 or full part of the Basin is filled n = $\frac{1\times 40}{11}=\frac{40}{11}=3\frac{7}{11}$ hour

$(P + R + T) take 5 hours to fill up 1 \tan k$

$\therefore (P + R + T) take 1 hour to fill up \frac{1}{5} part of \tan k$

$Again, (P + R) take 7 hours to fill up 1 \tan k$

$\therefore (P + R) take 1 hour to fill up \frac{1}{7} part of \tan k$

$\therefore In 1 hour, T can fill up = (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) =\frac{7-5}{35}=\frac{2}{35} part of \tan k$

$Now, \frac{2}{35} of \tan k is filled by T in 1 hour$

$\therefore 1 or complete part of \tan k is filled by T in = \frac{35\times 1}{2} =17\frac{1}{2} hours$

$$\begin{gathered} Let, the capacity of the \tan k be x liters. \\ By 1st pipe \\ In 15 minutes pipe fill=x part of the \tan k \\ \therefore In 1 minute pipe fill=\frac{x}{15} part of the \tan k \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} According to question, \\ 135(\frac{x}{15}-20)=x \\ =135\left(\frac{x-300}{15}\right)=x \\ =9(x-300)=x \\ =9x-2700=x \\ =8x=2700 \\ \therefore x=\frac{2700}{8}=337.5 liters \\ \therefore The capacity of the \tan k is 337.5 liters. \end{gathered}$$