একটি ঝুড়িতে 20টি কালো, 10টি সাদা এবং 12 টি হলুদ বল আছে। দৈবভাবে ঝুড়ি হতে একটি বল নেয়া হল। 

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল (নমুনা ক্ষেত্র) হলো, S = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}।

সুতরাং, মোট ফলাফলের সংখ্যা, n(S) = ৬।

বিজোড় সংখ্যা ওঠার ঘটনা A হলে, A = {১, ৩, ৫}।

সুতরাং, বিজোড় সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = ৩।

মৌলিক সংখ্যা ওঠার ঘটনা B হলে, B = {২, ৩, ৫}।

সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(B) = ৩।

A ও B এর সাধারণ সংখ্যাগুলো হলো, A \( \cap \) B = {৩, ৫}।

সুতরাং, n(A \( \cap \) B) = ২।

আমরা জানি, বিজোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা,

P(A \( \cup \) B) = P(A) + P(B) - P(A \( \cap \) B)

যেখানে,

P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6}\)

P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6}\)

P(A \( \cap \) B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6}\)

অতএব,

P(A \( \cup \) B) = \(\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\)

= \(\frac{3+3-2}{6}\)

= \(\frac{4}{6}\)

= \(\frac{2}{3}\)

সুতরাং, একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে বিজোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা হলো \(\frac{2}{3}\)।

উদ্দীপকে একটি ঝুড়িতে থাকা বিভিন্ন রঙের বলের সংখ্যা দেওয়া হয়েছে এবং দৈবভাবে একটি বল তোলার পর দুটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। এখানে কালো বলের সংখ্যা ২০টি, সাদা বলের সংখ্যা ১০টি এবং হলুদ বলের সংখ্যা ১২টি। আমাদের হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা এবং কালো বল না পাওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে ঝুড়িতে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি। মোট বল = কালো বল + সাদা বল + হলুদ বল = \(২০ + ১০ + ১২ = ৪২\)টি।

এবার, বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করি:

    
• হলুদ বলের সংখ্যা = ১২টি
    
• হলুদ বল হওয়ার সম্ভাবনা, \(P(\text{হলুদ}) = \frac{\text{হলুদ বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{১২}{৪২} = \frac{২}{৭}\)

এরপর, বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করি। কালো না হওয়া মানে সাদা অথবা হলুদ হওয়া:

    
• কালো না হওয়ার অনুকূল বলের সংখ্যা = সাদা বলের সংখ্যা + হলুদ বলের সংখ্যা = \(১০ + ১২ = ২২\)টি
    
• কালো না হওয়ার সম্ভাবনা, \(P(\text{কালো না}) = \frac{\text{কালো না হওয়ার অনুকূল বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{২২}{৪২} = \frac{১১}{২১}\)

এখন, হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা এবং কালো না হওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় করি:

পার্থক্য = \(P(\text{কালো না}) - P(\text{হলুদ})\)

\( = \frac{১১}{২১} - \frac{২}{৭}\)

\( = \frac{১১}{২১} - \frac{২ \times ৩}{৭ \times ৩}\)

\( = \frac{১১}{২১} - \frac{৬}{২১}\)

\( = \frac{১১ - ৬}{২১}\)

\( = \frac{৫}{২১}\)

সুতরাং, বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা এবং কালো না হওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য হলো \(\frac{৫}{২১}\)।

প্রথমে, ঝুড়িতে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

কালো বলের সংখ্যা = 20 টি

সাদা বলের সংখ্যা = 10 টি

হলুদ বলের সংখ্যা = 12 টি

মোট বলের সংখ্যা = \(20 + 10 + 12 = 42\) টি

১ম বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{প্রথম বল সাদা}) = \frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{10}{42}\)

প্রথম বলটি সাদা হওয়ার পর, যেহেতু প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই:

মোট বলের সংখ্যা = \(42 - 1 = 41\) টি

সাদা বলের সংখ্যা = \(10 - 1 = 9\) টি

২য় বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{দ্বিতীয় বল সাদা}) = \frac{\text{বাকি সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{বাকি মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{9}{41}\)

দ্বিতীয় বলটি সাদা হওয়ার পর, যেহেতু প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই:

মোট বলের সংখ্যা = \(41 - 1 = 40\) টি

সাদা বলের সংখ্যা = \(9 - 1 = 8\) টি

৩য় বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{তৃতীয় বল সাদা}) = \frac{\text{বাকি সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{বাকি মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{8}{40}\)

পরপর তিনটি বলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা (প্রতিস্থাপন ছাড়া):

\(P(\text{সবগুলো সাদা}) = P(\text{প্রথম সাদা}) \times P(\text{দ্বিতীয় সাদা}) \times P(\text{তৃতীয় সাদা})\)

\( = \frac{10}{42} \times \frac{9}{41} \times \frac{8}{40}\)

\( = \frac{5}{21} \times \frac{9}{41} \times \frac{1}{5}\)

\( = \frac{9}{21 \times 41}\)

\( = \frac{9}{861}\)

\( = \frac{3}{287}\)