বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা এবং কালো না হওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় কর।

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল (নমুনা ক্ষেত্র) হলো, S = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}।

সুতরাং, মোট ফলাফলের সংখ্যা, n(S) = ৬।

বিজোড় সংখ্যা ওঠার ঘটনা A হলে, A = {১, ৩, ৫}।

সুতরাং, বিজোড় সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = ৩।

মৌলিক সংখ্যা ওঠার ঘটনা B হলে, B = {২, ৩, ৫}।

সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(B) = ৩।

A ও B এর সাধারণ সংখ্যাগুলো হলো, A \( \cap \) B = {৩, ৫}।

সুতরাং, n(A \( \cap \) B) = ২।

আমরা জানি, বিজোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা,

P(A \( \cup \) B) = P(A) + P(B) - P(A \( \cap \) B)

যেখানে,

P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6}\)

P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6}\)

P(A \( \cap \) B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6}\)

অতএব,

P(A \( \cup \) B) = \(\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\)

= \(\frac{3+3-2}{6}\)

= \(\frac{4}{6}\)

= \(\frac{2}{3}\)

সুতরাং, একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে বিজোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা হলো \(\frac{2}{3}\)।

প্রথমে, ঝুড়িতে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

কালো বলের সংখ্যা = 20 টি

সাদা বলের সংখ্যা = 10 টি

হলুদ বলের সংখ্যা = 12 টি

মোট বলের সংখ্যা = \(20 + 10 + 12 = 42\) টি

১ম বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{প্রথম বল সাদা}) = \frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{10}{42}\)

প্রথম বলটি সাদা হওয়ার পর, যেহেতু প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই:

মোট বলের সংখ্যা = \(42 - 1 = 41\) টি

সাদা বলের সংখ্যা = \(10 - 1 = 9\) টি

২য় বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{দ্বিতীয় বল সাদা}) = \frac{\text{বাকি সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{বাকি মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{9}{41}\)

দ্বিতীয় বলটি সাদা হওয়ার পর, যেহেতু প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই:

মোট বলের সংখ্যা = \(41 - 1 = 40\) টি

সাদা বলের সংখ্যা = \(9 - 1 = 8\) টি

৩য় বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{তৃতীয় বল সাদা}) = \frac{\text{বাকি সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{বাকি মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{8}{40}\)

পরপর তিনটি বলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা (প্রতিস্থাপন ছাড়া):

\(P(\text{সবগুলো সাদা}) = P(\text{প্রথম সাদা}) \times P(\text{দ্বিতীয় সাদা}) \times P(\text{তৃতীয় সাদা})\)

\( = \frac{10}{42} \times \frac{9}{41} \times \frac{8}{40}\)

\( = \frac{5}{21} \times \frac{9}{41} \times \frac{1}{5}\)

\( = \frac{9}{21 \times 41}\)

\( = \frac{9}{861}\)

\( = \frac{3}{287}\)