একটি তেজস্ক্রিয় মৌলের অর্ধায়ু 3.8 দিন। 'ক' শিক্ষার্থী উক্ত মৌলের 82% ক্ষয় হতে কত সময় লাগবে তা পর্যবেক্ষণ করছিল। 'খ' শিক্ষার্থী বলল, “18 দিন পরে মৌলটির অবশিষ্ট ভর প্রারম্ভিক ভরের $\frac{1}{25}$ অংশ।”

আলোক তড়িৎ ক্রিয়া (photoelectric effect) সংঘটিত হওয়ার জন্য আপতিত আলোর একটি নির্দিষ্ট সর্বনিম্ন কম্পাঙ্ক থাকা আবশ্যক, যা সূচন কম্পাঙ্ক (threshold frequency) নামে পরিচিত। এই সূচন কম্পাঙ্কের চেয়ে কম কম্পাঙ্কের আলো ধাতব পৃষ্ঠে আপতিত হলে কোনো ইলেকট্রন নির্গত হয় না, আলোর তীব্রতা (intensity) যত বেশিই হোক না কেন।

এর কারণ হলো, আলোক তড়িৎ ক্রিয়া ফোটন কণার শক্তি দ্বারা সংঘটিত হয়। প্রতিটি ফোটনের শক্তি \(E = hf\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(h\) প্লাঙ্কের ধ্রুবক এবং \(f\) আলোর কম্পাঙ্ক। ইলেকট্রনকে ধাতু পৃষ্ঠ থেকে নির্গত করতে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হয়, যা কার্য অপেক্ষক (work function) নামে পরিচিত। যদি আপতিত ফোটনের শক্তি কার্য অপেক্ষকের চেয়ে কম হয় (অর্থাৎ কম্পাঙ্ক সূচন কম্পাঙ্কের চেয়ে কম হয়), তবে ফোটন ইলেকট্রনকে মুক্ত করার জন্য যথেষ্ট শক্তি সরবরাহ করতে পারে না, ফলে কোনো ইলেকট্রন নির্গত হয় না।

তেজস্ক্রিয় মৌলের ক্ষয় একটি প্রথম-ক্রমের বিক্রিয়া মেনে চলে, যেখানে অর্ধায়ু (Half-life) একটি নির্দিষ্ট সময়কালকে বোঝায় যার মধ্যে একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের প্রাথমিক পরিমাণের অর্ধেক ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। এই অর্ধায়ু থেকে ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয় করে বা সরাসরি অর্ধায়ুর সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো সময়ে পদার্থের অবশিষ্ট পরিমাণ বা ক্ষয়কাল নির্ণয় করা যায়।

উদ্দীপকে উল্লিখিত তেজস্ক্রিয় মৌলটির অর্ধায়ু \(T_{1/2} = 3.8\) দিন। শিক্ষার্থী 'ক' পর্যবেক্ষণ করেছে যে মৌলটির 82% ক্ষয় হয়েছে। এর অর্থ হলো, অবশিষ্ট মৌলের পরিমাণ \(100\% - 82\% = 18\%\) বা প্রাথমিক ভরের \(0.18\) গুণ। তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্র, \(N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\) ব্যবহার করে, যেখানে \(N\) হলো অবশিষ্ট পরিমাণ, \(N_0\) হলো প্রাথমিক পরিমাণ, \(t\) হলো সময় এবং \(T_{1/2}\) হলো অর্ধায়ু।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\(0.18 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3.8}\)

\(0.18 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3.8}\)

উভয় পাশে \(\log_{10}\) নিয়ে পাই:

\(\log_{10}(0.18) = \frac{t}{3.8} \log_{10}(0.5)\)

\(-0.7447 = \frac{t}{3.8} (-0.3010)\)

উপরের সমীকরণটি সমাধান করে 'ক' শিক্ষার্থীর পর্যবেক্ষণকাল \(t\) নির্ণয় করা যায়:

\(t = \frac{-0.7447 \times 3.8}{-0.3010}\)

\(t = \frac{2.82986}{0.3010}\)

\(t \approx 9.40\) দিন।

সুতরাং, শিক্ষার্থী 'ক' যে সময়কাল ধরে মৌলটির 82% ক্ষয় পর্যবেক্ষণ করেছিল, তা প্রায় 9.40 দিন।

উদ্দীপকে একটি তেজস্ক্রিয় মৌলের অর্ধায়ু 3.8 দিন দেওয়া আছে। শিক্ষার্থী 'খ' 18 দিন পর মৌলটির অবশিষ্ট ভর প্রারম্ভিক ভরের \(\frac{1}{25}\) অংশ হবে বলে দাবি করেছে। এই উচ্চতর দক্ষতা স্তরের প্রশ্নে, 'খ' শিক্ষার্থীর বক্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই করতে হবে।

দেওয়া আছে,

    
• তেজস্ক্রিয় মৌলের অর্ধায়ু, \(T_{1/2}\) = 3.8 দিন
    
• শিক্ষার্থী 'খ' এর পর্যবেক্ষণ সময়, \(t\) = 18 দিন

আমরা জানি, তেজস্ক্রিয় ক্ষয় ধ্রুবক (\(\lambda\)) এবং অর্ধায়ুর মধ্যে সম্পর্ক হল:

মান বসিয়ে পাই,

তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্রানুসারে, \(t\) সময় পর অবশিষ্ট মৌলের ভর (\(N\)) প্রারম্ভিক ভর (\(N_0\)) এর সাথে নিম্নোক্ত সম্পর্ক দ্বারা প্রকাশিত হয়:

সুতরাং, 18 দিন পর অবশিষ্ট ভরের ভগ্নাংশ হবে:

এখন, \(\lambda\) এবং \(t\) এর মান বসিয়ে পাই,

অন্যদিকে, শিক্ষার্থী 'খ' এর বক্তব্য অনুযায়ী 18 দিন পরে মৌলটির অবশিষ্ট ভর প্রারম্ভিক ভরের \(\frac{1}{25}\) অংশ হবে। গাণিতিকভাবে, \(\frac{1}{25}\) = 0.04।

আমাদের গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, 18 দিন পর অবশিষ্ট ভরের ভগ্নাংশ পাওয়া যায় প্রায় \(0.03751\)। শিক্ষার্থী 'খ' এর বক্তব্য অনুযায়ী এই ভগ্নাংশটি 0.04। যেহেতু হিসাবকৃত মান \(0.03751\) এবং 'খ' শিক্ষার্থীর দাবিকৃত মান \(0.04\) একই নয়, সেহেতু 'খ' শিক্ষার্থীর বক্তব্য গাণিতিকভাবে যথার্থ নয়। যদিও মান দুটি খুবই কাছাকাছি, কিন্তু সুনির্দিষ্ট গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে বক্তব্যটি সম্পূর্ণরূপে সঠিক নয়।