একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও দুইটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হল। 

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা হলো \(\frac{1}{2}\) ।

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হলো {1, 2, 3, 4, 5, 6}, অর্থাৎ মোট ফলাফলের সংখ্যা 6। এদের মধ্যে 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো {2, 4, 6}, অর্থাৎ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা 3। সম্ভাবনা নির্ণয়ের সূত্র হলো, (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা) / (মোট ফলাফলের সংখ্যা)। সুতরাং, সম্ভাবনা = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) ।

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলগুলো হলো ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬। প্রতিটি নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফল হেড (H) অথবা টেল (T)। যখন একটি ছক্কা ও দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হয়, তখন নমুনাক্ষেত্র (sample space) নির্ণয়ের জন্য একটি প্রোবাবিলিটি ট্রি (probability tree) তৈরি করা যেতে পারে। প্রথমে ছক্কার ৬টি ফলের জন্য ৬টি শাখা অঙ্কন করা হবে। এরপর প্রতিটি ছক্কার ফলের শাখা থেকে প্রথম মুদ্রার জন্য H ও T দুইটি করে উপশাখা এবং একইভাবে দ্বিতীয় মুদ্রার জন্য H ও T আরও দুইটি করে উপশাখা অঙ্কন করা হয়। এতে মোট \(৬ \times ২ \times ২ = ২৪\) টি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যায়, যা নিম্নে নমুনাক্ষেত্র হিসেবে উল্লেখ করা হলো:

নমুনাক্ষেত্র, S = {(১,H,H), (১,H,T), (১,T,H), (১,T,T), (২,H,H), (২,H,T), (২,T,H), (২,T,T), (৩,H,H), (৩,H,T), (৩,T,H), (৩,T,T), (৪,H,H), (৪,H,T), (৪,T,H), (৪,T,T), (৫,H,H), (৫,H,T), (৫,T,H), (৫,T,T), (৬,H,H), (৬,H,T), (৬,T,H), (৬,T,T)}

প্রোবাবিলিটি ট্রি (probability tree) হলো সম্ভাব্যতার সকল ফলাফলকে একটি চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করার একটি পদ্ধতি। এটি একাধিক ঘটনার সম্ভাব্য ফল এবং তাদের সংযুক্ত সম্ভাবনাগুলো দৃশ্যমান করতে সাহায্য করে। উপরোক্ত সমস্যার ক্ষেত্রে, ছক্কা নিক্ষেপের পর দুটি মুদ্রা নিক্ষেপের প্রতিটি সম্ভাব্য ফলকে পর্যায়ক্রমে শাখা-প্রশাখার মাধ্যমে দেখানো হয়, যা থেকে সহজেই নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদান চিহ্নিত করা যায় এবং সামগ্রিক চিত্রটি সহজে অনুধাবন করা যায়।

এখানে, একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও দুইটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলো।

ছক্কার সম্ভাব্য ফলাফল, \(S_D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

সুতরাং, ছক্কার ফলাফলের সংখ্যা, \(n(S_D) = 6\)

দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রার সম্ভাব্য ফলাফল, \(S_C = \{HH, HT, TH, TT\}\)

সুতরাং, দুটি মুদ্রার ফলাফলের সংখ্যা, \(n(S_C) = 4\)

মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা, \(n(S) = n(S_D) \times n(S_C) = 6 \times 4 = 24\)

(i) কমপক্ষে একটি 1 আসার সম্ভাবনা:

এখানে, "কমপক্ষে একটি 1" বলতে ছক্কায় 1 আসা বোঝায়। মুদ্রার ফলাফলের উপর এর কোনো প্রভাব নেই।

ধরি, ঘটনা A = ছক্কায় 1 আসা।

ছক্কায় 1 আসার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = 1 (শুধুমাত্র 1)

দুটি মুদ্রার যেকোনো ফলাফল হতে পারে, যার সংখ্যা = 4

সুতরাং, কমপক্ষে একটি 1 আসার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, \(n(A) = 1 \times 4 = 4\)

কমপক্ষে একটি 1 আসার সম্ভাবনা, \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\)

(ii) ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা ও মুদ্রায় একই ফলাফল আসার সম্ভাবনা:

ধরি, ঘটনা B = ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা আসা।

ছক্কায় মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো \(\{2, 3, 5\}\)।

সুতরাং, ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, \(n(B) = 3\)

ধরি, ঘটনা C = মুদ্রায় একই ফলাফল আসা।

মুদ্রায় একই ফলাফলগুলো হলো \(\{HH, TT\}\)।

সুতরাং, মুদ্রায় একই ফলাফল আসার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, \(n(C) = 2\)

ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা ও মুদ্রায় একই ফলাফল আসার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, \(n(B \cap C) = n(B) \times n(C) = 3 \times 2 = 6\)

ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা ও মুদ্রায় একই ফলাফল আসার সম্ভাবনা, \(P(B \cap C) = \frac{n(B \cap C)}{n(S)} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)