একটি ফাঁপা লোহার গোলকের বহিঃব্যাস 14 সে.মি. এবং লোহার বেধ 2 সে.মি.। ফাঁপা গোলকের লোহা দিয়ে একটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো, যা একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

দেওয়া আছে, গোলকের বহিঃব্যাস 14 সে.মি.

∴ গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ $=\frac{14}{2}$সে.মি. = 7 সে.মি.

∴ গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ (7-2) সে.মি. = 5 সে.মি.

∴ গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন $=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\times 3.1416 \times 5^3$ ঘন সে.মি.

= 523.6 ঘন সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন 523.6 ঘন সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.

∴ গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\times {\left(7\right)}^3$ ঘন সে.মি.

$=\frac{4}{3}\times 3.1416\times 343$ ঘন সে.মি.

= 1436.7584 ঘন সে.মি.

'ক' হতে পাই,

গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন 523.6 ঘন সে.মি.

∴ গোলকে ব্যবহৃত লোহার আয়তন= (1436.7584 - 523.6) ঘন সে.মি.

= 913.1584 ঘন সে.মি.

ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r সে.মি.

∴ নিরেট গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$ ঘন সে.মি.

যেহেতু ফাঁপা গোলকে ব্যবহৃত লোহা দিয়ে নিরেট গোলক তৈরি করা হয়েছে। সেহেতু লোহার আয়তন নিরেট গোলকের আয়তনের সমান।

∴ $\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3=913.1584$

বা, ${\mathrm{r}}^3=\frac{913.1584\times 3}{4\times 3.1416}=218$

বা, $\mathrm{r}=\sqrt[3]{218}$

∴ r = 6.0185 (প্রায়)

∴ নিরেট গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=4{\mathrm{\pi }}^2$

$= 4 \times 3.1416 \times {(6.0185)}^2$ বর্গ সে.মি.

= 455.1844 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় নিরেট গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 455.1844 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

'খ' হতে প্রাপ্ত,

নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = 6.0185 সে.মি.

∴ নিরেট গোলকের ব্যাস= 2 $\times$ 6.0185 সে.মি.

= 12.037 সে.মি.

যেহেতু নিরেট গোলকটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

সেহেতু বাক্সটির দৈর্ঘ্য হবে নিরেট গোলকের ব্যাসের সমান।

∴ ঘনক আকৃতির বাক্সের দৈর্ঘ্য = 12.037 সে.মি.

∴ বাক্সটির আয়তন = (12.037)³ ঘন সে.মি.

= 1744.0333 ঘন সে.মি.

নিরেট গোলকের আয়তন= 913.1584 ঘন সে.মি.

∴ বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন = (1744.0333-913.1584) ঘন সে.মি.

= 830.8749 ঘন সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন 830.8749 ঘন সে.মি. (প্রায়)