একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৫টি কালো এবং ৬টি লাল বল আছে। বাক্স হতে ৩টি বল দৈবভাবে চয়ন করা হলে নিম্নের সম্ভাবনাগুলো নির্ণয় করুন

প্রদত্ত তথ্য অনুসারে,

    
• সাদা বলের সংখ্যা = ৪টি
    
• কালো বলের সংখ্যা = ৫টি
    
• লাল বলের সংখ্যা = ৬টি
    
• মোট বলের সংখ্যা = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫টি
    
• মোট নির্বাচিত বলের সংখ্যা = ৩টি

১. মোট সম্ভাব্য ফলাফল নির্ণয়:

১৫টি বল থেকে ৩টি বল দৈবভাবে চয়নের মোট উপায় সংখ্যা হলো \(^{15}C_3\)।

\(^{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1}\)

\( = 5 \times 7 \times 13 = 455\)

সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা = ৪৫৫।

২. 'বড়জোড় ২টি লাল বল' হওয়ার সম্ভাবনার পরিপূরক ঘটনা নির্ণয়:

'বড়জোড় ২টি লাল বল' (At most 2 red balls) এর পরিপূরক ঘটনা হলো 'ঠিক ৩টি লাল বল' (Exactly 3 red balls)।

৩টি লাল বল নির্বাচন করার উপায়:

৬টি লাল বল থেকে ৩টি লাল বল চয়ন করতে হবে এবং বাকী (১৫-৬=৯)টি অ-লাল বল থেকে ০টি বল চয়ন করতে হবে।

এখানে,

\(^6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)

\(^9C_0 = 1\)

সুতরাং, ঠিক ৩টি লাল বল নির্বাচনের অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = \(20 \times 1 = 20\)।

৩. 'ঠিক ৩টি লাল বল' হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়:

\(P(\text{ঠিক ৩টি লাল বল}) = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল সংখ্যা}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা}}\)

\( = \frac{20}{455}\)

\( = \frac{4}{91}\) (লব ও হরকে ৫ দ্বারা ভাগ করে)

৪. 'বড়জোড় ২টি লাল বল' হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়:

'বড়জোড় ২টি লাল বল' হওয়ার সম্ভাবনা হলো \(1 - P(\text{ঠিক ৩টি লাল বল})\)।

\(P(\text{বড়জোড় ২টি লাল বল}) = 1 - \frac{4}{91}\)

\( = \frac{91 - 4}{91}\)

\( = \frac{87}{91}\)

সম্ভাবনা নির্ণয়: কমপক্ষে দুটি কালো বল

প্রথমে, মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি।

সাদা বল = ৪টি

কালো বল = ৫টি

লাল বল = ৬টি

মোট বলের সংখ্যা \( = 4 + 5 + 6 = 15\)টি।

বাক্স থেকে ৩টি বল দৈবভাবে চয়ন করার মোট উপায়:

\(^{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455\)

এখন, "কমপক্ষে দুটি কালো বল" চয়ন করার অনুকূল ঘটনা নির্ণয় করি। এর অর্থ হলো হয় ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল, অথবা ঠিক ৩টি কালো বল।

ক্ষেত্র ১: ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল

৫টি কালো বল থেকে ২টি কালো বল চয়ন করার উপায়:

\(^5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

১০টি (৪টি সাদা + ৬টি লাল) অন্য রঙের বল থেকে ১টি অন্য রঙের বল চয়ন করার উপায়:

\(^{10}C_1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10\)

সুতরাং, ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল চয়ন করার মোট উপায় \( = 10 \times 10 = 100\)

ক্ষেত্র ২: ঠিক ৩টি কালো বল

৫টি কালো বল থেকে ৩টি কালো বল চয়ন করার উপায়:

\(^5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\)

কমপক্ষে দুটি কালো বল চয়ন করার মোট অনুকূল ঘটনা \( = \) (ক্ষেত্র ১ এর উপায়) \( + \) (ক্ষেত্র ২ এর উপায়)

\( = 100 + 10 = 110\)

সুতরাং, কমপক্ষে দুটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{কমপক্ষে দুটি কালো বল}) = \frac{\text{অনুকূল ঘটনা}}{\text{মোট ঘটনা}} = \frac{110}{455}\)

ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করে পাই (উভয়কে ৫ দ্বারা ভাগ করে):

\(P(\text{কমপক্ষে দুটি কালো বল}) = \frac{110 \div 5}{455 \div 5} = \frac{22}{91}\)