কম পক্ষে দুটি কালো বল ।

(একটি বাক্সে ৪টি সাদা, ৫টি কালো এবং ৬টি লাল বল আছে। বাক্স হতে ৩টি বল দৈবভাবে চয়ন করা হলে নিম্নের সম্ভাবনা নির্ণয় করুন)

সম্ভাবনা নির্ণয়: কমপক্ষে দুটি কালো বল

প্রথমে, মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি।

সাদা বল = ৪টি

কালো বল = ৫টি

লাল বল = ৬টি

মোট বলের সংখ্যা \( = 4 + 5 + 6 = 15\)টি।

বাক্স থেকে ৩টি বল দৈবভাবে চয়ন করার মোট উপায়:

\(^{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455\)

এখন, "কমপক্ষে দুটি কালো বল" চয়ন করার অনুকূল ঘটনা নির্ণয় করি। এর অর্থ হলো হয় ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল, অথবা ঠিক ৩টি কালো বল।

ক্ষেত্র ১: ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল

৫টি কালো বল থেকে ২টি কালো বল চয়ন করার উপায়:

\(^5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

১০টি (৪টি সাদা + ৬টি লাল) অন্য রঙের বল থেকে ১টি অন্য রঙের বল চয়ন করার উপায়:

\(^{10}C_1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10\)

সুতরাং, ঠিক ২টি কালো বল এবং ১টি অন্য রঙের বল চয়ন করার মোট উপায় \( = 10 \times 10 = 100\)

ক্ষেত্র ২: ঠিক ৩টি কালো বল

৫টি কালো বল থেকে ৩টি কালো বল চয়ন করার উপায়:

\(^5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\)

কমপক্ষে দুটি কালো বল চয়ন করার মোট অনুকূল ঘটনা \( = \) (ক্ষেত্র ১ এর উপায়) \( + \) (ক্ষেত্র ২ এর উপায়)

\( = 100 + 10 = 110\)

সুতরাং, কমপক্ষে দুটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা:

\(P(\text{কমপক্ষে দুটি কালো বল}) = \frac{\text{অনুকূল ঘটনা}}{\text{মোট ঘটনা}} = \frac{110}{455}\)

ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করে পাই (উভয়কে ৫ দ্বারা ভাগ করে):

\(P(\text{কমপক্ষে দুটি কালো বল}) = \frac{110 \div 5}{455 \div 5} = \frac{22}{91}\)