একটি শ্রেণীতে ১০০ জন ছাত্র ছিল। বার্ষিক পরীক্ষার  ৯৪ জন ছাত্র গণিতে পাশ করেছে, ৮০ জন ইংরেজিতে পাশ করেছে ও ৭৫ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে? 

ধরি, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০%।

গণিতে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ - ৭০)% = ৩০%

বাংলায় ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ - ৮০)% = ২০%

উভয় বিষয়ে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০%

সুতরাং, কমপক্ষে একটি বিষয়ে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা

\(= \) (কেবল গণিতে ফেল \(+\) কেবল বাংলায় ফেল \(+\) উভয় বিষয়ে ফেল) অথবা

\(= \) (গণিতে ফেল \(+\) বাংলায় ফেল \(-\) উভয় বিষয়ে পাস)

\(= \) (৩০% \(+\) ২০% \(-\) ১০%)

\(= \) (৫০% \(-\) ১০%)

\(= \) ৪০%

অতএব, উভয় বিষয়ে পাস করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা

\(= \) (১০০ - ৪০)%

\(= \) ৬০%

প্রশ্নানুসারে,

৬০% পরীক্ষার্থী = ৩৬০ জন

১% পরীক্ষার্থী = \(\frac{৩৬০}{৬০}\) জন

১০০% পরীক্ষার্থী = \(\frac{৩৬০}{৬০} \times ১০০\) জন

\(= \) \(৬ \times ১০০\) জন

\(= \) ৬০০ জন

সুতরাং, মোট ৬০০ জন পরীক্ষার্থী অংশগ্রহণ করেছিল।

শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০% - ৭৫% = ৫%

শুধু গণিতে পাশ করেছে = ৮৫% - ৭৫% = ১০%

∴ শুধু এক বা উভয় বিষয়ে মোট পাশ করেছে = ৫% + ১০ % + ৭৫% = ৯০%

অতএব, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = ১০০% - ৯০% = ১০%

এখন, ১০ জন উভয় বিষয়ে ফেল করে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জনে

∴ ৪০ জন উভয় বিষয়ে ফেল করে মোট পরীক্ষার্থী $= \frac{১০০ \times ৪০}{১০}$= ৪০০ জনে

Total students not enrolled in either course = Total students - (Students taking French + Students taking German - Students taking both)

Total students = 78

Students taking French = 41

Students taking German = 22

Students taking both = 9

Total students not enrolled in either course = 78 - (41 + 22 - 9) = 16 students.

To find the sets \( X \) and \( Y \) based on the given information, we need to interpret the provided conditions step by step.

### Given:

1. \( X \cup Y = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} \)
2. \( X \cap Y = \{1, 5\} \)
3. \( Y - X = \{2, 6, 9, 10\} \)

### Step 1: Using \( Y - X \)

From condition 3, we know that:
\[
Y - X = \{2, 6, 9, 10\}
\]
This means that the elements \( 2, 6, 9, \) and \( 10 \) are in \( Y \) but not in \( X \). Therefore, we can express \( Y \) as:
\[
Y = (Y - X) \cup (X \cap Y)
\]
Since \( X \cap Y = \{1, 5\} \), we can write:
\[
Y = \{2, 6, 9, 10\} \cup \{1, 5\} = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]

### Step 2: Using \( X \cup Y \)

Now, we know:
\[
X \cup Y = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\}
\]
And we have \( Y = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} \). Now we can find \( X \):
\[
X = (X \cup Y) - Y
\]
This gives us:
\[
X = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]
Calculating this, we get:
\[
X = \{3, 8\}
\]

### Step 3: Verification

Now we need to verify if the derived sets satisfy all the conditions.

- **Checking \( X \cup Y \)**:
\[
X \cup Y = \{3, 8\} \cup \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} \quad \text{(True)}
\]

- **Checking \( X \cap Y \)**:
\[
X \cap Y = \{3, 8\} \cap \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} = \{1, 5\} \quad \text{(True)}
\]

- **Checking \( Y - X \)**:
\[
Y - X = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} - \{3, 8\} = \{2, 6, 9, 10\} \quad \text{(True)}
\]

### Conclusion

Thus, the sets \( X \) and \( Y \) are:

\[
X = \{3, 8\}
\]
\[
Y = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]

ধরি, নবীনদের x জন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

∴ উপরের ভেনচিত্র হতে লেখা যায় যে,

১৫ + ১৫ + ২৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$৫৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ x = ১০০-৫৫

∴ x = ৪৫

∴ গণিত বা ইংরেজি নিয়ে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= ১৫ + ১৫ + ২৫ = ৫৫ জন।

অতএব, (ক) গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫৫ জন। 

(খ) গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪৫ জন।

Alternative:

ধরি, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, S = ১০০ জন।

এখানে, গণিত নেয়, M = ৩০ জন।

ইংরেজি নেয়, E = ৪০ জন।

উভয় বিষয় নেয়, M $\cap$ E = ১৫ জন।

ক) গণিত বা ইংরেজি নেয় M+E (M$\cap$E)

= ৩০ + ৪০ – ১৫ = ১৫ জন।

খ) কোনো বিষয়ই নেয়নি ১০০ -  ৫৫ = ৪৫ জন।