একটি স্কেলার ক্ষেত্র $\varphi =\varphi (x, y, z),$একটি ভেক্টর ক্ষেত্র$\overrightarrow{V}=(v_x\hat{i}+V_y\hat{j}+v=\hat{k})$ এবং একটি ভেক্টর অপারেটর $\overrightarrow{\nabla }$=$\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$

উত্তরঃ যদি একটি স্কেলার ক্ষেত্র $\varphi$ এর ল্যাপলাসিয়ান শূন্যের সমান হয়, অর্থাৎ ${\nabla }^2\varphi =0$, তবে সেই সমীকরণকে ল্যাপলাসের সমীকরণ বলে।

উত্তরঃ

চলন্ত মোটর গাড়ির সামনের কাচ ভেজার কারণ হলো এর আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity) এবং গাড়ির গতি দ্বারা সৃষ্ট বায়ুপ্রবাহ।

যখন একটি মোটর গাড়ি সামনের দিকে চলে, তখন বৃষ্টির ফোঁটাগুলো উল্লম্বভাবে নিচে পড়তে থাকে। সামনের কাচের ক্ষেত্রে, গাড়ির সামনের দিকে গতি এবং বৃষ্টির ফোঁটার নিচের দিকে গতির কারণে বৃষ্টির ফোঁটাগুলো সামনের কাচের দিকে একটি আপেক্ষিক বেগ নিয়ে আসে। অর্থাৎ, বৃষ্টির ফোঁটাগুলো সামনের কাচের দিকে দ্রুত ধাবিত হয় এবং সরাসরি কাচে আঘাত করে ভেজিয়ে দেয়। গাড়ির গতির কারণে সামনের দিকে উচ্চ চাপ সৃষ্টি হয় যা বৃষ্টির ফোঁটাকে কাচের উপর চাপিয়ে দেয়।

অন্যদিকে, গাড়ির পিছনের কাচ ভেজে না কারণ পিছনের কাচটি বৃষ্টির ফোঁটা থেকে দূরে সরে যায়। গাড়ির গতির কারণে এর পিছন দিকে একটি নিম্ন চাপ (Low Pressure) অঞ্চল বা শূন্যতা (Vacuum) সৃষ্টি হয়। এই নিম্নচাপ অঞ্চলের কারণে পিছনের কাচের কাছাকাছি থাকা বাতাস এবং বৃষ্টির ফোঁটাগুলো গাড়ির গতিপথের সাথে সাথে পিছন দিকে প্রবাহিত হয় বা দূরে সরে যায়। ফলস্বরূপ, বৃষ্টির ফোঁটাগুলো পিছনের কাচে সরাসরি আঘাত করতে পারে না বা পিছনের কাচ পর্যন্ত পৌঁছানোর আগেই বাতাসের ঘূর্ণিপ্রবাহ (Vortex) দ্বারা দূরে চালিত হয়ে যায়। এককথায়, পিছনের কাচের সাপেক্ষে বৃষ্টির ফোঁটার আপেক্ষিক বেগ কাচের দিকে না হয়ে কাচ থেকে দূরে থাকে।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}\)।

আমাদেরকে \(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এটি ভেক্টর ক্যালকুলাসের (Vector Calculus) একটি মৌলিক অভেদ (Identity)।

ধরি, ভেক্টর ক্ষেত্রটি হলো:

\[ \vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k} \]

এবং ডেল অপারেটর (Del operator) হলো:

\[ \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \]

প্রথম ধাপ: \(\vec{\nabla} \times \vec{V}\) নির্ণয় (কার্ল নির্ণয় - Curl Calculation)

প্রথমে, \(\vec{V}\) এর কার্ল (\(curl\)) নির্ণয় করি:

\[ \vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial V_z}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial z} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \]

বা

\[ = \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \]

ধরি, \(\vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{V}\)। তাহলে,

\[ A_x = \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \] \[ A_y = \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \] \[ A_z = \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \]

দ্বিতীয় ধাপ: \(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})\) নির্ণয় (ডাইভারজেন্স নির্ণয় - Divergence Calculation)

এখন, \(\vec{A}\) এর ডাইভারজেন্স (\(divergence\)) নির্ণয় করি:

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \]

A এর উপাদানগুলোর মান বসিয়ে পাই:

\[ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \] \[ = \frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y} \]

যদি \(\vec{V}\) ভেক্টর ক্ষেত্রটি দ্বিতীয় ক্রমের অবিচ্ছিন্ন অন্তরীকরণযোগ্য (continuously differentiable to the second order) হয়, তাহলে মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভগুলির (mixed partial derivatives) ক্রম পরিবর্তন করা যায়, অর্থাৎ:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]

এই ধর্ম ব্যবহার করে পাই:

    
• \(\frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y}\) এবং \(-\frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x}\) পরস্পরকে বাতিল করে।
    
• \(-\frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z}\) এবং \(+\frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x}\) পরস্পরকে বাতিল করে।
    
• \(+\frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z}\) এবং \(-\frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y}\) পরস্পরকে বাতিল করে।

সুতরাং, সবগুলো পদ বাতিল হয়ে যায় এবং ফলাফল হয়:

\[ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = 0 \]

সিদ্ধান্ত:

যে কোনো অবিচ্ছিন্নভাবে অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য হয়। এটি ভেক্টর ক্যালকুলাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ অভেদ (identity)।

---

0

---

ভেক্টর ক্যালকুলাসে, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের (curl) ডাইভারজেন্স (divergence) সর্বদা শূন্য হয়। এর কারণ হলো, কার্ল অপারেশন একটি নতুন ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি করে যা মূল ক্ষেত্রের ঘূর্ণনকে (rotation) নির্দেশ করে। এই নতুন ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নেওয়া হলে, তা সেই ঘূর্ণনের উৎস বা সিঙ্ক (source or sink) আছে কিনা তা পরিমাপ করে, যা গাণিতিকভাবে শূন্য পাওয়া যায়। এই গাণিতিক অভেদটি পদার্থবিজ্ঞানে, বিশেষ করে তড়িৎচুম্বকত্বে (electromagnetism) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে এটি চৌম্বক ক্ষেত্র (magnetic field) এর জন্য একটি মূল সমীকরণ, অর্থাৎ চৌম্বক একমের (magnetic monopoles) অস্তিত্ব নেই বলে বোঝায়।