উত্তরঃ
দেওয়া আছে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}\)।
আমাদেরকে \(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এটি ভেক্টর ক্যালকুলাসের (Vector Calculus) একটি মৌলিক অভেদ (Identity)।
ধরি, ভেক্টর ক্ষেত্রটি হলো:
\[
\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k}
\]
এবং ডেল অপারেটর (Del operator) হলো:
\[
\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k}
\]
প্রথম ধাপ: \(\vec{\nabla} \times \vec{V}\) নির্ণয় (কার্ল নির্ণয় - Curl Calculation)
প্রথমে, \(\vec{V}\) এর কার্ল (\(curl\)) নির্ণয় করি:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
V_x & V_y & V_z
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial V_z}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial z} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right)
\]
বা
\[
= \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right)
\]
ধরি, \(\vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{V}\)। তাহলে,
\[
A_x = \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}
\]
\[
A_y = \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x}
\]
\[
A_z = \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}
\]
দ্বিতীয় ধাপ: \(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})\) নির্ণয় (ডাইভারজেন্স নির্ণয় - Divergence Calculation)
এখন, \(\vec{A}\) এর ডাইভারজেন্স (\(divergence\)) নির্ণয় করি:
\[
\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
\]
A এর উপাদানগুলোর মান বসিয়ে পাই:
\[
\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right)
\]
\[
= \frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y}
\]
যদি \(\vec{V}\) ভেক্টর ক্ষেত্রটি দ্বিতীয় ক্রমের অবিচ্ছিন্ন অন্তরীকরণযোগ্য (continuously differentiable to the second order) হয়, তাহলে মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভগুলির (mixed partial derivatives) ক্রম পরিবর্তন করা যায়, অর্থাৎ:
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
\]
এই ধর্ম ব্যবহার করে পাই:
- \(\frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y}\) এবং \(-\frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x}\) পরস্পরকে বাতিল করে।
- \(-\frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z}\) এবং \(+\frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x}\) পরস্পরকে বাতিল করে।
- \(+\frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z}\) এবং \(-\frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y}\) পরস্পরকে বাতিল করে।
সুতরাং, সবগুলো পদ বাতিল হয়ে যায় এবং ফলাফল হয়:
\[
\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = 0
\]
সিদ্ধান্ত:
যে কোনো অবিচ্ছিন্নভাবে অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য হয়। এটি ভেক্টর ক্যালকুলাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ অভেদ (identity)।
0
ভেক্টর ক্যালকুলাসে, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের (curl) ডাইভারজেন্স (divergence) সর্বদা শূন্য হয়। এর কারণ হলো, কার্ল অপারেশন একটি নতুন ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি করে যা মূল ক্ষেত্রের ঘূর্ণনকে (rotation) নির্দেশ করে। এই নতুন ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নেওয়া হলে, তা সেই ঘূর্ণনের উৎস বা সিঙ্ক (source or sink) আছে কিনা তা পরিমাপ করে, যা গাণিতিকভাবে শূন্য পাওয়া যায়। এই গাণিতিক অভেদটি পদার্থবিজ্ঞানে, বিশেষ করে তড়িৎচুম্বকত্বে (electromagnetism) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে এটি চৌম্বক ক্ষেত্র (magnetic field) এর জন্য একটি মূল সমীকরণ, অর্থাৎ চৌম্বক একমের (magnetic monopoles) অস্তিত্ব নেই বলে বোঝায়।
