একটি স্প্রিং এর মুক্তপ্রান্তে 500 gm ভর ঝুলালে এটি 5 cm প্রসারিত হয়ে সাম্যাবস্থায় আসে। এটিকে আরো 4 cm প্রসারিত করে ছেড়ে দিলে এটি সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত হয়।

উত্তরঃ

কাজ শক্তি উপপাদ্য অনুসারে, কোনো বস্তুর উপর মোট কৃতকাজ বস্তুর গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।

উত্তরঃ

ভরকে জড়তাভর বলা হয় কারণ এটি বস্তুর জড়তার (inertia) পরিমাপ। কোনো বস্তুর গতি বা স্থিতিশীল অবস্থা বজায় রাখার প্রবণতাই হলো জড়তা। যে বস্তুর ভর যত বেশি, তার জড়তাও তত বেশি হয় এবং এর গতি অবস্থার পরিবর্তন করতে তত বেশি বলের (force) প্রয়োজন হয়।

নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বল তার ভর ও ত্বরণের (acceleration) গুণফলের সমানুপাতিক অর্থাৎ F = ma। এই সমীকরণে, 'm' (ভর) বস্তুর ত্বরণের বিরুদ্ধে যে প্রতিরোধ গড়ে তোলে, তাকেই তার জড়তা হিসেবে প্রকাশ করা হয়। সুতরাং, বস্তুর এই জড়তার ধর্মকে সুনির্দিষ্টভাবে বোঝানোর জন্য ভরকে 'জড়তাভর' (inertial mass) বলা হয়।

উত্তরঃ

একটি স্প্রিং প্রসারণে কৃতকাজ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে স্প্রিংটির স্প্রিং ধ্রুবক (spring constant) নির্ণয় করতে হবে। স্প্রিংকে তার স্বাভাবিক দৈর্ঘ্য থেকে \(x\) পরিমাণ প্রসারিত করতে কৃতকাজ হলো \(W = \frac{1}{2} kx^2\), যেখানে \(k\) হলো স্প্রিং ধ্রুবক। উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে প্রথমে \(k\) এর মান বের করা আবশ্যক।

উদ্দীপক অনুযায়ী, স্প্রিংটির মুক্তপ্রান্তে 500 gm ভর ঝুলালে এটি 5 cm প্রসারিত হয় এবং সাম্যাবস্থায় আসে। সাম্যাবস্থায় স্প্রিংয়ের পুনরুদ্ধারকারী বল (restoring force) এবং বস্তুর ওজন সমান হয়।

এখানে,
ভর, \(m\) = 500 gm = 0.5 kg
প্রসারণ, \(x_1\) = 5 cm = 0.05 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g\) = 9.8 \( \text{m/s}^2 \)
সাম্যাবস্থায়, \(mg = kx_1\)
বা, \(k = \frac{mg}{x_1} = \frac{0.5 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2}{0.05 \text{ m}} = \frac{4.9}{0.05} = 98 \text{ N/m} \)।
সুতরাং, স্প্রিংটির স্প্রিং ধ্রুবক \(k = 98 \text{ N/m}\) ।

এখন, স্প্রিংটিকে 4 cm প্রসারিত করতে কৃতকাজ নির্ণয় করা যায়।
প্রসারণ, \(x_2\) = 4 cm = 0.04 m
কৃতকাজ, \(W = \frac{1}{2} kx_2^2\)
\(W = \frac{1}{2} \times 98 \text{ N/m} \times (0.04 \text{ m})^2\)
\(W = \frac{1}{2} \times 98 \times 0.0016\)
\(W = 49 \times 0.0016\)
\(W = 0.0784 \text{ J}\)
অতএব, স্প্রিংটির 4 cm প্রসারণে কৃতকাজ হলো 0.0784 জুল।

উত্তরঃ

একটি স্প্রিং-ভর সিস্টেমের সরল ছন্দিত স্পন্দনের কম্পাঙ্ক ভরের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, ভরের পরিমাণ বাড়লে কম্পাঙ্ক হ্রাস পায় এবং ভরের পরিমাণ কমলে কম্পাঙ্ক বৃদ্ধি পায়। প্রদত্ত উদ্দীপকে একটি স্প্রিং-এর সাথে ভর যোগ করার ফলে কম্পাংকের কী পরিবর্তন হবে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো।

উদ্দীপক অনুসারে, স্প্রিং-এর মুক্তপ্রান্তে 500 gm ভর (\(m_1 = 0.5 \text{ kg}\)) ঝুলালে এটি 5 cm (\(x = 0.05 \text{ m}\)) প্রসারিত হয়।

আমরা জানি, \(F = kx\) এবং \(F = mg\)।
অতএব, \(mg = kx\)
বা, \(k = \frac{mg}{x}\)
এখানে, \(m = 0.5 \text{ kg}\), \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\), \(x = 0.05 \text{ m}\)
\(k = \frac{0.5 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2}{0.05 \text{ m}} = \frac{4.9 \text{ N}}{0.05 \text{ m}} = 98 \text{ N/m}\)
সুতরাং, স্প্রিং ধ্রুবক \(k = 98 \text{ N/m}\)।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের কম্পাংকের সূত্র হলো, \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\)।

প্রাথমিক অবস্থায়, ভর \(m_1 = 0.5 \text{ kg}\) হলে কম্পাঙ্ক:

\[f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{98 \text{ N/m}}{0.5 \text{ kg}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{196 \text{ s}^{-2}} = \frac{14}{2\pi} \text{ Hz} = \frac{7}{\pi} \text{ Hz}\]

\(f_1 \approx 2.228 \text{ Hz}\)।

এখন, স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তে আরো 100 gm ভর যুক্ত করা হলে মোট ভর হবে:

\(m_2 = 500 \text{ gm} + 100 \text{ gm} = 600 \text{ gm} = 0.6 \text{ kg}\)
এই ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক হবে:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{98 \text{ N/m}}{0.6 \text{ kg}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{163.33 \text{ s}^{-2}} \approx \frac{12.78}{2\pi} \text{ Hz} = \frac{6.39}{\pi} \text{ Hz}\]

\(f_2 \approx 2.034 \text{ Hz}\)।

পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায়, \(f_1 \approx 2.228 \text{ Hz}\) এবং \(f_2 \approx 2.034 \text{ Hz}\)। অর্থাৎ, \(f_1 > f_2\)।

সুতরাং, স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তে আরো 100 gm ভর যুক্ত করার ফলে স্প্রিং-এর সরল ছন্দিত স্পন্দনের কম্পাঙ্ক হ্রাস পাবে। গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে, স্প্রিং-ভর সিস্টেমের কম্পাঙ্ক ভরের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক হওয়ায় ভর বৃদ্ধি পেলে কম্পাঙ্ক কমে যায়। উদ্দীপকের ঘটনাটিও এই সূত্রকে সমর্থন করে।