একটি 750 g ভরের পানিতে অদ্রবণীয় ঘনক আকৃতির ঘনবস্তু স্লাইড ক্যালিপার্সে স্থাপনের পর যে পাঠ পাওয়া গেল তা হচ্ছে প্রধান স্কেলের পাঠ 12.6 cm, ভার্নিয়ার সমপাতন 4। স্কেলের ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.01 cm. (পানির ঘনত্ব 1000kgm^-3)

মিটার স্কেল দ্বারা অত্যন্ত ক্ষুদ্র ও সূক্ষ্ম পরিমাপ করা সম্ভব নয়। এর প্রধান সীমাবদ্ধতা হলো এর লঘিষ্ঠ গণন (Least Count) 1 মিমি বা 0.1 সেমি, যার ফলে 1 মিমি এর চেয়ে ছোট কোনো দৈর্ঘ্যের সঠিক পরিমাপ করা যায় না এবং পাঠ নিতে গেলে নির্ভুলতার অভাব হয়।

এছাড়া, মিটার স্কেল ব্যবহার করার সময় লম্বন ত্রুটি (Parallax Error) হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, কারণ এর পাঠচিহ্নগুলো পরিমাপের তল থেকে কিছুটা উপরে থাকে। এই লম্বন ত্রুটির কারণেও পরিমাপের সূক্ষ্মতা কমে যায় এবং নির্ভুল পাঠ পাওয়া কঠিন হয়।

স্লাইড ক্যালিপার্স ব্যবহার করে কোনো বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য প্রধান স্কেলের পাঠ, ভার্নিয়ার সমপাতন এবং ভার্নিয়ার ধ্রুবক প্রয়োজন হয়। উদ্দীপকে প্রদত্ত ঘনক আকৃতির ঘনবস্তুটির ক্ষেত্রে, প্রধান স্কেলের পাঠ (MSR) হলো 12.6 cm, ভার্নিয়ার সমপাতন (V) হলো 4 এবং স্কেলের ভার্নিয়ার ধ্রুবক (VC) হলো 0.01 cm। এই তথ্যগুলো ব্যবহার করে ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যাবে।

বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপের সূত্রটি হলো:
বস্তুর দৈর্ঘ্য (L) = প্রধান স্কেলের পাঠ (MSR) + (ভার্নিয়ার সমপাতন (V) \(\times\) ভার্নিয়ার ধ্রুবক (VC))
এখন, উদ্দীপকের মানগুলো সূত্রে স্থাপন করে পাই:
L = \(12.6 \text{ cm} + (4 \times 0.01 \text{ cm})\)
L = \(12.6 \text{ cm} + 0.04 \text{ cm}\)
L = \(12.64 \text{ cm}\)

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত ঘনক আকৃতির ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য হলো 12.64 cm। এই পরিমাপ স্লাইড ক্যালিপার্সের মাধ্যমে করা হয়েছে, যা সাধারণ স্কেলের চেয়েও নির্ভুলভাবে ছোট বস্তুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে সাহায্য করে। এর মাধ্যমে বস্তুর ক্ষুদ্রতম অংশও সঠিকভাবে পরিমাপ করা সম্ভব হয়।

কোনো বস্তুকে তরলে রাখা হলে, যদি বস্তুটির ঘনত্ব তরলের ঘনত্বের চেয়ে কম হয়, তাহলে বস্তুটি তরলে ভাসে। ভাসমান অবস্থায় বস্তুটির যে পরিমাণ আয়তন তরলে নিমজ্জিত থাকে, তার দ্বারা অপসারিত তরলের ওজন বস্তুর মোট ওজনের সমান হয়। এই নীতিকে প্লবতা বা আর্কিমিডিসের নীতি বলে। বস্তুর নিমজ্জিত অংশের পরিমাণ বস্তুর ঘনত্ব ও তরলের ঘনত্বের অনুপাত দ্বারা নির্ণয় করা যায়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ঘনক আকৃতির ঘনবস্তুটির ভর এবং স্লাইড ক্যালিপার্সের পাঠ থেকে প্রথমে এর দৈর্ঘ্য, আয়তন ও ঘনত্ব নির্ণয় করতে হবে। এরপর, ঘনবস্তুটির ঘনত্ব এবং পানির ঘনত্বের অনুপাত ব্যবহার করে পানিতে এর কত অংশ ডুববে তা গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করা হলো:

১. ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
প্রধান স্কেলের পাঠ, \(M = 12.6 \text{ cm}\)
ভার্নিয়ার সমপাতন, \(V = 4\)
ভার্নিয়ার ধ্রুবক, \(VC = 0.01 \text{ cm}\)
ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, \(L = M + V \times VC = 12.6 \text{ cm} + 4 \times 0.01 \text{ cm} = 12.6 \text{ cm} + 0.04 \text{ cm} = 12.64 \text{ cm}\)
বা, \(L = 0.1264 \text{ m}\)

২. ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয়:
ঘনবস্তুটির আয়তন, \(V_{বস্তু} = L^3 = (0.1264 \text{ m})^3 \approx 0.00201967 \text{ m}^3\)

৩. ঘনবস্তুটির ভর:
ঘনবস্তুটির ভর, \(m = 750 \text{ g} = 0.75 \text{ kg}\)

৪. ঘনবস্তুটির ঘনত্ব নির্ণয়:
ঘনবস্তুটির ঘনত্ব, \(\rho_{বস্তু} = \frac{m}{V_{বস্তু}} = \frac{0.75 \text{ kg}}{0.00201967 \text{ m}^3} \approx 371.35 \text{ kgm}^{-3}\)

৫. পানির ঘনত্ব:
পানির ঘনত্ব, \(\rho_{পানি} = 1000 \text{ kgm}^{-3}\) (উদ্দীপকে প্রদত্ত)

আর্কিমিডিসের প্লবতা নীতি অনুসারে, যখন কোনো বস্তু তরলে ভাসে, তখন বস্তুর মোট ওজন তার দ্বারা অপসারিত তরলের ওজনের সমান হয়।
অর্থাৎ, বস্তুর ওজন = অপসারিত তরলের ওজন
\(\rho_{বস্তু} \times V_{বস্তু} \times g = \rho_{পানি} \times V_{নিমজ্জিত} \times g\)
এখানে, \(V_{নিমজ্জিত}\) হলো বস্তুর নিমজ্জিত আয়তন।
উভয় পক্ষ থেকে \(g\) বাদ দিলে আমরা পাই,
\(\rho_{বস্তু} \times V_{বস্তু} = \rho_{পানি} \times V_{নিমজ্জিত}\)
বা, \(\frac{V_{নিমজ্জিত}}{V_{বস্তু}} = \frac{\rho_{বস্তু}}{\rho_{পানি}}\)

এই সমীকরণ ব্যবহার করে, ঘনবস্তুটির নিমজ্জিত অংশের পরিমাণ হলো:
নিমজ্জিত অংশ \( = \frac{371.35 \text{ kgm}^{-3}}{1000 \text{ kgm}^{-3}} = 0.37135\)
সুতরাং, ঘনক আকৃতির ঘনবস্তুটির আয়তনের প্রায় \(0.37135\) অংশ বা \(37.135\%\) পানিতে ডুববে। যেহেতু বস্তুটির ঘনত্ব (\(371.35 \text{ kgm}^{-3}\)) পানির ঘনত্ব (\(1000 \text{ kgm}^{-3}\)) থেকে কম, তাই বস্তুটি পানিতে ভাসবে এবং এর মোট আয়তনের একটি নির্দিষ্ট অংশ নিমজ্জিত থাকবে, যা উপরের গণনায় দেখানো হয়েছে।