এবং B তার দুটির মধ্যে কোনটি বেশি স্থিতিস্থাপক? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

কোনো স্থিতিস্থাপক তারের উপর বল প্রয়োগের ফলে এর একক আয়তনে যে পরিমাণ শক্তি সঞ্চিত হয়, তাকে স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি ঘনত্ব বা একক আয়তনে বিভব শক্তি বলে। গাণিতিকভাবে, একক আয়তনে বিভব শক্তি (\(U_v\)) হলো পীড়ন (\(\sigma\)) ও বিকৃতি (\(\epsilon\)) এর গুণফলের অর্ধেক। অর্থাৎ, \(U_v = \frac{1}{2} \times \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি}\)। এখানে, পীড়ন (\(\sigma\)) \(=\frac{\text{প্রয়োগকৃত বল (F)}}{\text{প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A)}}\) এবং বিকৃতি (\(\epsilon\)) \(=\frac{\text{দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি (e)}}{\text{মৌলিক দৈর্ঘ্য (L)}}\)।

উদ্দীপকের তার দুটির জন্য প্রদত্ত তথ্য এবং গণনা নিম্নরূপ:
তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(A = 2 \text{ mm}^2 = 2 \times (10^{-3})^2 \text{ m}^2 = 2 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)
প্রয়োগকৃত ভারের ভর, \(m = 20 \text{ kg}\)
প্রয়োগকৃত বল, \(F = m \times g = 20 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 196 \text{ N}\)
সুতরাং, তারের উপর প্রযুক্ত পীড়ন, \(\sigma = \frac{F}{A} = \frac{196 \text{ N}}{2 \times 10^{-6} \text{ m}^2} = 9.8 \times 10^7 \text{ N/m}^2\)

'A' তারের ক্ষেত্রে:
তার A এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি ১% হওয়ায় এর বিকৃতি, \(\epsilon_A = 0.01\)।
অতএব, 'A' তারের একক আয়তনে বিভব শক্তি, \(U_{vA} = \frac{1}{2} \times \sigma \times \epsilon_A = \frac{1}{2} \times (9.8 \times 10^7 \text{ N/m}^2) \times 0.01 = 4.9 \times 10^5 \text{ J/m}^3\)

'B' তারের ক্ষেত্রে:
তার B এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি ৭% হওয়ায় এর বিকৃতি, \(\epsilon_B = 0.07\)।
অতএব, 'B' তারের একক আয়তনে বিভব শক্তি, \(U_{vB} = \frac{1}{2} \times \sigma \times \epsilon_B = \frac{1}{2} \times (9.8 \times 10^7 \text{ N/m}^2) \times 0.07 = 3.43 \times 10^6 \text{ J/m}^3\)

উপরিউক্ত হিসাব থেকে দেখা যায়, উদ্দীপকের A তারের একক আয়তনে বিভব শক্তির মান \(4.9 \times 10^5 \text{ J/m}^3\) এবং B তারের একক আয়তনে বিভব শক্তির মান \(3.43 \times 10^6 \text{ J/m}^3\)। দুটি তার ভিন্ন উপাদানের হওয়ায় এবং ভিন্ন বিকৃতি হওয়ায় তাদের একক আয়তনে সঞ্চিত বিভব শক্তি ভিন্ন হয়েছে।