কাজ-শক্তি উপপাদ্যটি বিবৃত কর।

স্প্রিং ধ্রুবক (spring constant) হলো কোনো স্প্রিংয়ের দৃঢ়তার পরিমাপ। এটি স্প্রিংয়ে প্রতি একক প্রসারণ বা সংকোচনের জন্য প্রয়োজনীয় বল নির্দেশ করে। এর মান যত বেশি হয়, স্প্রিংটি তত বেশি দৃঢ় বা শক্ত হয়, অর্থাৎ তাকে প্রসারিত বা সংকুচিত করতে বেশি বল প্রয়োগ করতে হয়।

হুকেট সূত্রানুসারে, স্প্রিংয়ে প্রযুক্ত বল (F) তার প্রসারণ বা সংকোচনের (x) সমানুপাতিক, অর্থাৎ F = kx, যেখানে k হলো স্প্রিং ধ্রুবক। এই ধ্রুবক k এর তাৎপর্য হলো, এটি স্প্রিংকে প্রসারিত বা সংকুচিত করতে কত বল প্রয়োজন হবে তার একটি সুস্পষ্ট ধারণা দেয়। স্প্রিং ধ্রুবকের একক হলো নিউটন/মিটার (N/m)।

আনত তল বেয়ে নামার সময় বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল গতীয় ঘর্ষণ বল বস্তুর গতির বিপরীত দিকে কাজ করে। ফলে ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কাজ ঋণাত্মক হয়। কৃত কাজের সূত্রটি হলো, \(W = Fd \cos \theta\), যেখানে \(F\) হলো বল, \(d\) হলো সরণ এবং \(\theta\) হলো বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ। ঘর্ষণ বলের ক্ষেত্রে \(\theta = 180^\circ\) হওয়ায় \(W = -Fd\) হয়।

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, আনত তলটির নতিকোণ (angle of inclination) \(A = 30^\circ\)। উল্লম্ব উচ্চতা (vertical height) \(DE = 6 \text{ m}\)। সমকোণী ত্রিভুজ ADE থেকে আনত তলটির দৈর্ঘ্য \(AD\) নির্ণয় করা যায়: \(\sin A = \frac{DE}{AD}\)। এখানে, \(AD = \frac{DE}{\sin A} = \frac{6 \text{ m}}{\sin 30^\circ} = \frac{6 \text{ m}}{0.5} = 12 \text{ m}\)। চিত্রে গতীয় ঘর্ষণ বল \(F_K = 2 \text{ N}\) দেখানো হয়েছে।

সুতরাং, আনত তল বেয়ে D বিন্দু থেকে A বিন্দুতে নামার সময় ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কাজ হবে: \(W_f = -F_K \times AD\) \(W_f = -2 \text{ N} \times 12 \text{ m}\) \(W_f = -24 \text{ J}\) অতএব, আনত তল বেয়ে নামার সময় গতীয় ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কাজের মান \(-24 \text{ J}\)।

যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা সূত্রানুসারে, কোনো বস্তুর উপর কেবল সংরক্ষণশীল বল (যেমন মহাকর্ষ বল) ক্রিয়া করলে তার মোট যান্ত্রিক শক্তি (গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সমষ্টি) সর্বদা ধ্রুব থাকে। কিন্তু যদি বস্তুর উপর কোনো অসংরক্ষণশীল বল (যেমন ঘর্ষণ বল, বায়ু প্রতিরোধ) ক্রিয়া করে, তবে মোট যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষিত থাকে না, বরং এর কিছু অংশ অন্য শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।

উদ্দীপকে, \(m = 50 \, \text{kg}\) ভরের একটি বস্তু \(DA\) আনত তল বরাবর পড়ছে। আনত তলটির নতি কোণ \(30^\circ\) এবং উল্লম্ব উচ্চতা \(DE = 6 \, \text{m}\)। এছাড়াও, একটি প্রতিরোধক বল \(F_K = 2 \, \text{N}\) বস্তুর গতির বিপরীত দিকে (আনত তল বরাবর উপরের দিকে) ক্রিয়া করছে। আনত তলের দৈর্ঘ্য \(AD\) কে তিনটি সমান অংশে \(AB = BC = CD\) দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।

প্রথমে, আনত তলের মোট দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যাক: \[AD = \frac{DE}{\sin 30^\circ} = \frac{6 \, \text{m}}{0.5} = 12 \, \text{m}\] যেহেতু \(AB = BC = CD\), প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য হলো: \[AB = BC = CD = \frac{AD}{3} = \frac{12 \, \text{m}}{3} = 4 \, \text{m}\] এখন, ভূমি \(AE\) থেকে \(B\) ও \(C\) বিন্দুর উচ্চতা নির্ণয় করি: \(C\) বিন্দুর উচ্চতা, \(h_C = AC \sin 30^\circ = (AB + BC) \sin 30^\circ = (4 + 4) \sin 30^\circ = 8 \times 0.5 = 4 \, \text{m}\) \(B\) বিন্দুর উচ্চতা, \(h_B = AB \sin 30^\circ = 4 \times 0.5 = 2 \, \text{m}\) যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা তখনই প্রযোজ্য হয় যখন বস্তুর উপর কোনো অসংরক্ষণশীল বল ক্রিয়া না করে। কিন্তু উদ্দীপকে \(F_K = 2 \, \text{N}\) মানের একটি প্রতিরোধক বল ক্রিয়াশীল রয়েছে। এই বল বস্তুর গতির বিপরীত দিকে কাজ করে এবং যান্ত্রিক শক্তিকে তাপ শক্তিতে রূপান্তরিত করে। \(C\) থেকে \(B\) বিন্দুতে আসতে বস্তুটি \(BC = 4 \, \text{m}\) দূরত্ব অতিক্রম করে। এই দূরত্ব অতিক্রম করার সময় প্রতিরোধক বল দ্বারা কৃত কাজ: \[W_{F_K} = F_K \times BC = 2 \, \text{N} \times 4 \, \text{m} = 8 \, \text{J}\] যেহেতু \(F_K\) একটি অসংরক্ষণশীল বল এবং এটি বস্তুটির উপর কাজ করছে, তাই \(C\) থেকে \(B\) বিন্দুতে যেতে বস্তুটির যান্ত্রিক শক্তির পরিবর্তন হবে। যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা সূত্রানুসারে, যদি যান্ত্রিক শক্তি নিত্য থাকত, তাহলে \(E_C = E_B\) হতো। কিন্তু অসংরক্ষণশীল বলের উপস্থিতির কারণে, \(E_B = E_C - W_{F_K}\) হবে। অর্থাৎ, \(B\) বিন্দুর যান্ত্রিক শক্তি \(C\) বিন্দুর যান্ত্রিক শক্তি থেকে \(8 \, \text{J}\) কম হবে। অতএব, \(E_B \neq E_C\)।

উপসংহারে বলা যায়, উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা প্রতিফলিত হয়নি। কারণ, আনত তল বরাবর গতিশীল বস্তুর উপর \(F_K\) মানের একটি প্রতিরোধক বল ক্রিয়াশীল থাকায়, এই অসংরক্ষণশীল বল বস্তুর যান্ত্রিক শক্তির একটি অংশকে তাপশক্তিতে রূপান্তরিত করে যান্ত্রিক শক্তির পরিমাণ হ্রাস করে।