Academy
এসএসসি
গণিত
কোনো সমান্তর ধা…

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m এবং একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ 27 এবং একাদশ পদ $81 \sqrt{3}$

Created: 5 months ago | Updated: 5 months ago

Updated: 5 months ago

এসএসসি গণিত গুণোত্তর ধারা

(ক)

প্রথম p সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে, p এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

আমরা জানি, $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . . . . + p^{3} = {\{\frac{p (p + 1)}{2}\}}^{2}$

প্রশ্নমতে, ${\{\frac{p (p + 1)}{2}\}}^{2} = 441$

বা, $\frac{p (p + 1)}{2} = 21$ [বর্গমূল করে]

বা, p(p + 1) = 42

বা, $p^{2} + p - 42 = 0$

বা, $p^{2} + 7 p - 6 p - 42 = 0$

বা, p(p + 7) - 6(p + 7) = 0

বা, (p + 7)(p - 6) = 0

বা, p + 7 = 0

∴ p = - 7

অথবা, p - 6 = 0

∴ p = 6

কিন্তু p $\neq$ -7 কারণ স্বাভাবিক সংখ্যার 'সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ p = 6

নির্ণেয় মান 6।

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(খ)

সমান্তর ধারাটির প্রথম m + n পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $= \frac{m}{2} {2 a + (m - 1) d}$

বা, $n = \frac{m}{2} {2 u + (m - 1) d}$

বা, 2n = m{2a + (m - 1) d}

∴ $2 a + (m - 1) d = \frac{2 n}{m}$ ……………… (1)

এবং প্রথম সংখ্যক পদের সমষ্টি $= \frac{n}{2} {2 a + (n - 1) d}$

বা, $m = \frac{n}{2} 2 a + (n - 1) d$

বা, 2m = n{2a + (n - 1) d}

∴ $2 a + (n - 1) d = \frac{2 m}{n}$ …………… (2)

সমীকরণ (2) হতে (1) নং বিয়োগ করে পাই,

$n d - m d = \frac{2 m}{n} - \frac{2 n}{m}$

বা, $- d (m - n) = \frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{m n}$

বা, $- d (m - n) = \frac{2 (m^{2} - n^{2})}{m n}$

বা, $d = \frac{2 (m + n) (m - n)}{- m n (m - n)}$

∴ $d = \frac{2 (m + n)}{- m n}$ ………………… (3)

এখন, ধারাটির প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি

$= \frac{m + n}{2} {2 a + (m + n - 1) d}$

$= \frac{(m + n)}{2} {2 a + (m - 1) d + n d}$

$= \frac{m + n}{2} {\frac{2 n}{m} + n \times \frac{2 (m + n)}{- m n}}$ [মান বসিয়ে]

$= \frac{m + n}{2} {\frac{2 n}{m} - \frac{2 m + 2 n)}{m}}$

$= \frac{m + n}{2} \{\frac{2 n - 2 m - 2 n}{m}\}$

$= \frac{m + n}{2} \times \frac{- 2 m}{m} = - (m + n)$

নির্ণেয় প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি = - (m + n)

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(গ)

গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a

এরং সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $= a r^{n - 1}$

∴ অষ্টম পদ, $a r^{8 - 1} = - 27$

∴ $a r^{27} = - 27$ …………… (1)

এবং একাদশ পদ, $a r^{11 - 1} = 81 \sqrt{3}$

∴ $a r^{10} = 81 \sqrt{3}$ …………… (2)

(2) নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{a r^{10}}{a r^{7}} = \frac{81 \sqrt{3}}{- 27}$

বা, $r^{3} = - 3 \sqrt{3} = {(- \sqrt{3})}^{3}$

∴ $r = - \sqrt{3}$

গুণোত্তর ধারার দশম পদ $a r^{10 - 1}$

$= a r^{9} = a r^{7} . r^{2}$

$= (- 27) \times (- \sqrt{3})^{2}$ [∵ (1) নং হতে ]

$= - 27 \times 3 = - 81$

নির্ণেয় পদ – 81

Najjar Hossain Raju

5 months ago

CQ: 97

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m এবং একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ 27 এবং একাদশ পদ $81 \sqrt{3}$

Related Question

Related Question

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m এবং একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ 27 এবং একাদশ পদ 813

Related Question

Related Question

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m এবং একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ 27 এবং একাদশ পদ $81 \sqrt{3}$