কোন অবস্থানে উপগ্রহটি ভূস্থির হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

উত্তরঃ

ভূস্থির উপগ্রহ হলো সেই উপগ্রহ যা পৃথিবী থেকে দেখলে সর্বদা আকাশে একই অবস্থানে স্থির থাকে। একটি উপগ্রহকে ভূস্থির হতে হলে তাকে নিরক্ষীয় তলে পৃথিবীর আবর্তন গতির সাথে সঙ্গতি রেখে আবর্তন করতে হয়। এর জন্য উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকালের (২৪ ঘণ্টা) সমান হতে হবে এবং এর কক্ষপথ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় অবস্থিত হতে হবে।

উদ্দীপকে পৃথিবীর ভর, ব্যাসার্ধ এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G\) এর মান দেওয়া আছে। পৃথিবী থেকে উপগ্রহের B এবং C অবস্থানের দূরত্বও চিত্রে উল্লেখ করা হয়েছে। এখন আমরা গাণিতিকভাবে ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করে উদ্দীপকের B ও C অবস্থানের সাথে তুলনা করে দেখব।

আমরা জানি, একটি উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T\), পৃথিবীর ভর \(M\), মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G\) এবং কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

যেখানে,
পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24}\) kg
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400\) km \( = 6400 \times 10^3\) m \( = 6.4 \times 10^6\) m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) Nm\(^2\)kg\(^{-2}\)
ভূস্থির উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T = 24\) ঘণ্টা \( = 24 \times 3600\) সেকেন্ড \( = 86400\) সেকেন্ড

উপরে উল্লিখিত সূত্র থেকে আমরা ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয় করতে পারি:

\[T^2 = (2\pi)^2 \frac{r^3}{GM}\] \[r^3 = \frac{GMT^2}{(2\pi)^2}\] \[r^3 = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg}) \times (86400 \text{ s})^2}{4\pi^2}\] \[r^3 = \frac{40.02 \times 10^{13} \times 7464960000}{4 \times (3.14159)^2}\] \[r^3 \approx 7.567 \times 10^{22} \text{ m}^3\] \[r \approx (7.567 \times 10^{22})^{1/3} \text{ m}\] \[r \approx 4.225 \times 10^7 \text{ m} \approx 42250 \text{ km}\]

এটি হলো পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ।
সুতরাং, পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে ভূস্থির উপগ্রহের উচ্চতা \(h = r - R\)
\(h = 42250 \text{ km} - 6400 \text{ km} = 35850 \text{ km}\)

এবার উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী উপগ্রহের B ও C অবস্থানের উচ্চতা নির্ণয় করি:
চিত্র থেকে দেখা যায়, A থেকে B এর দূরত্ব 600 km। যেহেতু A পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত, B এর উচ্চতা পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে 600 km।
সুতরাং, B অবস্থানের ব্যাসার্ধ \(r_B = R + 600 \text{ km} = 6400 \text{ km} + 600 \text{ km} = 7000 \text{ km}\)
B থেকে C এর দূরত্ব 250 km।
সুতরাং, C অবস্থানের ব্যাসার্ধ \(r_C = R + 600 \text{ km} + 250 \text{ km} = 6400 \text{ km} + 850 \text{ km} = 7250 \text{ km}\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ভূস্থির উপগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষপথের ব্যাসার্ধ প্রায় 42250 km, যা B অবস্থানের (7000 km) এবং C অবস্থানের (7250 km) ব্যাসার্ধ থেকে অনেক বেশি। যেহেতু B বা C কোনো অবস্থানই ভূস্থির কক্ষপথের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে না, তাই এই দুটি অবস্থানের কোনোটিতেই উপগ্রহটি ভূস্থির হবে না। ভূস্থির উপগ্রহ হতে হলে উপগ্রহটিকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 35850 km উচ্চতায় থাকতে হবে।