পৃথিবীর ভর  $6\times {10}^{24}$ kg এবং ব্যাসার্ধ 6400 km। একটি কৃত্রিম উপগ্রহ কোনো এক সময় B এবং পরবর্তীতে C অবস্থানে আবর্তন করে।

$[G= 6.67\times 10{-}^{11}N{m}^{2}kg{-}^2.]$

উত্তরঃ যেসব বস্তু মানুষ তৈরি করে নির্দিষ্ট কক্ষপথে পৃথিবীর চারপাশে অথবা অন্য কোনো গ্রহ বা উপগ্রহের চারপাশে ঘুরতে দেয়, সেগুলোকে কৃত্রিম উপগ্রহ বলে।

উত্তরঃ

না, সাধারণত পৃথিবীর কেন্দ্রে কোনো বস্তুর ভরকেন্দ্র ও ভারকেন্দ্র উভয়ই পাওয়া যায় না।

ভারকেন্দ্র হলো বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বলের লব্ধি যে বিন্দুতে কাজ করে সেই বিন্দু। পৃথিবীর কেন্দ্রে মহাকর্ষীয় ত্বরণের মান শূন্য হওয়ায় বস্তুর ওজন শূন্য হয়। তাই পৃথিবীর কেন্দ্রে বস্তুর ওপর কোনো মহাকর্ষ বল ক্রিয়া করে না, ফলে বস্তুর ভারকেন্দ্র সেখানে সংজ্ঞায়িত করা যায় না বা পাওয়া যায় না। অন্যদিকে, ভরকেন্দ্র হলো বস্তুর ভর যে নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত বলে মনে করা হয়। এটি বস্তুর একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং মহাকর্ষের ওপর নির্ভরশীল নয়। বস্তুটি যদি পৃথিবীর কেন্দ্রে স্থাপন করা হয়, তবে তার ভরকেন্দ্র বস্তুর নিজস্ব আয়তনের মধ্যেই থাকবে, পৃথিবীর কেন্দ্রে থাকবে না, যদি না বস্তুটি নিজেই একটি বিন্দু ভর হয় বা পৃথিবীর অংশ হয় যার ভরকেন্দ্র পৃথিবীর কেন্দ্রে অবস্থিত।

উত্তরঃ

কোনো বিন্দুতে একক ভরের কোনো বস্তু স্থাপন করলে বস্তুটি যে মহাকর্ষীয় বল অনুভব করে, তাকে ঐ বিন্দুর মহাকর্ষীয় প্রাবল্য (Gravitational Field Strength) বলে। এর সূত্র হলো, \(E = \frac{GM}{r^2}\), যেখানে \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো যে বস্তুর জন্য প্রাবল্য নির্ণয় করা হচ্ছে তার ভর এবং \(r\) হলো কেন্দ্র থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24}\) kg এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400\) km। মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)। চিত্রানুযায়ী 'A' বিন্দুটি পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত, তাই পৃথিবী কেন্দ্র থেকে A বিন্দুর দূরত্ব \(r\) হবে পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান। সুতরাং, \(r = R = 6400 \text{ km} = 6400 \times 10^3 \text{ m} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)। এখন A বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য নির্ণয় করা যাক:
\(E = \frac{GM}{r^2}\)
\(E = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg})}{(6.4 \times 10^6 \text{ m})^2}\)
\(E = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}\)
\(E = \frac{400.2 \times 10^{12}}{40.96 \times 10^{12}}\)
\(E \approx 9.771 \text{ N/kg}\)

অতএব, উদ্দীপকের 'A' বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য হলো প্রায় \(9.771 \text{ N/kg}\)। এই মানটি পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের (acceleration due to gravity) মানের প্রায় সমান, যা 'A' বিন্দুর অবস্থানকে (পৃথিবীর পৃষ্ঠে) সমর্থন করে।

উত্তরঃ

ভূস্থির উপগ্রহ হলো সেই উপগ্রহ যা পৃথিবী থেকে দেখলে সর্বদা আকাশে একই অবস্থানে স্থির থাকে। একটি উপগ্রহকে ভূস্থির হতে হলে তাকে নিরক্ষীয় তলে পৃথিবীর আবর্তন গতির সাথে সঙ্গতি রেখে আবর্তন করতে হয়। এর জন্য উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকালের (২৪ ঘণ্টা) সমান হতে হবে এবং এর কক্ষপথ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় অবস্থিত হতে হবে।

উদ্দীপকে পৃথিবীর ভর, ব্যাসার্ধ এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G\) এর মান দেওয়া আছে। পৃথিবী থেকে উপগ্রহের B এবং C অবস্থানের দূরত্বও চিত্রে উল্লেখ করা হয়েছে। এখন আমরা গাণিতিকভাবে ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করে উদ্দীপকের B ও C অবস্থানের সাথে তুলনা করে দেখব।

আমরা জানি, একটি উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T\), পৃথিবীর ভর \(M\), মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G\) এবং কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

যেখানে,
পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24}\) kg
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400\) km \( = 6400 \times 10^3\) m \( = 6.4 \times 10^6\) m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) Nm\(^2\)kg\(^{-2}\)
ভূস্থির উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T = 24\) ঘণ্টা \( = 24 \times 3600\) সেকেন্ড \( = 86400\) সেকেন্ড

উপরে উল্লিখিত সূত্র থেকে আমরা ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয় করতে পারি:

\[T^2 = (2\pi)^2 \frac{r^3}{GM}\] \[r^3 = \frac{GMT^2}{(2\pi)^2}\] \[r^3 = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg}) \times (86400 \text{ s})^2}{4\pi^2}\] \[r^3 = \frac{40.02 \times 10^{13} \times 7464960000}{4 \times (3.14159)^2}\] \[r^3 \approx 7.567 \times 10^{22} \text{ m}^3\] \[r \approx (7.567 \times 10^{22})^{1/3} \text{ m}\] \[r \approx 4.225 \times 10^7 \text{ m} \approx 42250 \text{ km}\]

এটি হলো পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ।
সুতরাং, পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে ভূস্থির উপগ্রহের উচ্চতা \(h = r - R\)
\(h = 42250 \text{ km} - 6400 \text{ km} = 35850 \text{ km}\)

এবার উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী উপগ্রহের B ও C অবস্থানের উচ্চতা নির্ণয় করি:
চিত্র থেকে দেখা যায়, A থেকে B এর দূরত্ব 600 km। যেহেতু A পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত, B এর উচ্চতা পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে 600 km।
সুতরাং, B অবস্থানের ব্যাসার্ধ \(r_B = R + 600 \text{ km} = 6400 \text{ km} + 600 \text{ km} = 7000 \text{ km}\)
B থেকে C এর দূরত্ব 250 km।
সুতরাং, C অবস্থানের ব্যাসার্ধ \(r_C = R + 600 \text{ km} + 250 \text{ km} = 6400 \text{ km} + 850 \text{ km} = 7250 \text{ km}\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ভূস্থির উপগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষপথের ব্যাসার্ধ প্রায় 42250 km, যা B অবস্থানের (7000 km) এবং C অবস্থানের (7250 km) ব্যাসার্ধ থেকে অনেক বেশি। যেহেতু B বা C কোনো অবস্থানই ভূস্থির কক্ষপথের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে না, তাই এই দুটি অবস্থানের কোনোটিতেই উপগ্রহটি ভূস্থির হবে না। ভূস্থির উপগ্রহ হতে হলে উপগ্রহটিকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 35850 km উচ্চতায় থাকতে হবে।