কোন ক্ষেত্রে বলটি ভূমিতে আঘাত করার সময় অধিক শক্তি হারাবে? গাণিতিক বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

বলের ভূমি স্পর্শ করার ফলে সংঘটিত সংঘর্ষ একটি অস্থিতিস্থাপক (inelastic) সংঘর্ষ। এই সংঘর্ষে বল তার যান্ত্রিক শক্তি (mechanical energy) হারায়। উদ্দীপকে বর্ণিত দুটি ভিন্ন ক্ষেত্রে বলের ভূমি স্পর্শ করার সময় হারানো শক্তির পরিমাণ নির্ণয় করে আমরা তুলনা করব কোন ক্ষেত্রে অধিক শক্তি হারাবে।

প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি নির্ণয়:
এখানে, বলের ভর, \(m = 50g = 0.05 \, kg\)
প্রাথমিক উচ্চতা, \(H = 10 \, m\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.81 \, ms^{-2}\)
প্রথম ক্ষেত্রে, বলটিকে 10m উচ্চতা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো, তাই আদি বেগ, \(u_1 = 0 \, ms^{-1}\) ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির বেগ, \(v_1\)
আমরা জানি, \(v_1^2 = u_1^2 + 2gH = 0^2 + 2 \times 9.81 \times 10 = 196.2\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ গতিশক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{before,1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 196.2 = 4.905 \, J\)
ভূমিকম্পের পর বলটি 5m উচ্চতায় উঠে থামে। এই উচ্চতায় বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ বিভব শক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{after,1} = mgh_1 = 0.05 \times 9.81 \times 5 = 2.4525 \, J\)
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_1 = E_{before,1} - E_{after,1} = 4.905 - 2.4525 = 2.4525 \, J\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি নির্ণয়:
এখানে, বলের ভর, \(m = 0.05 \, kg\)
প্রাথমিক উচ্চতা, \(H = 10 \, m\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.81 \, ms^{-2}\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, বলটিকে 10m উচ্চতা থেকে 15ms\(^{-1}\) বেগে খাড়া নিচের দিকে নিক্ষেপ করা হলো, তাই আদি বেগ, \(u_2 = 15 \, ms^{-1}\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির বেগ, \(v_2\)
আমরা জানি, \(v_2^2 = u_2^2 + 2gH = (15)^2 + 2 \times 9.81 \times 10 = 225 + 196.2 = 421.2\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ গতিশক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{before,2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 421.2 = 10.53 \, J\)
ভূমিকম্পের পর বলটি 8m উচ্চতায় উঠে থামে। এই উচ্চতায় বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ বিভব শক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{after,2} = mgh_2 = 0.05 \times 9.81 \times 8 = 3.924 \, J\)
সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_2 = E_{before,2} - E_{after,2} = 10.53 - 3.924 = 6.606 \, J\)

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে,
প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_1 = 2.4525 \, J\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_2 = 6.606 \, J\)
যেহেতু \(\Delta E_2 > \Delta E_1\), অর্থাৎ, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটি ভূমিতে আঘাত করার সময় অধিক শক্তি হারাবে। এর কারণ হলো, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটির আদি গতিশক্তি বেশি থাকায় এটি ভূমিতে বেশি বেগে আঘাত করে, ফলে সংঘর্ষে উৎপন্ন তাপ ও শব্দশক্তির মাধ্যমে বেশি পরিমাণ যান্ত্রিক শক্তি অন্য শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।