মুক্তিবেগ কী? (জ্ঞানমূলক)

কাজ ও ক্ষমতা দুটি ভিন্ন ভৌত রাশি। কাজ হলো কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে তার সরণের পরিমাপ, যা বল ও সরণের গুণফল দ্বারা নির্ধারিত হয়। অন্যদিকে, ক্ষমতা হলো কাজ করার হার, অর্থাৎ একক সময়ে যে পরিমাণ কাজ সম্পন্ন হয়।

এই মৌলিক পার্থক্যের কারণে, দুটি যন্ত্রের দ্বারা কৃত কাজের মান সমান হলেও তাদের ক্ষমতার মান ভিন্ন হতে পারে। যদি একটি যন্ত্র একটি নির্দিষ্ট কাজ সম্পন্ন করতে অন্য যন্ত্রের চেয়ে কম সময় নেয়, তবে তার ক্ষমতা বেশি হবে। অর্থাৎ, ক্ষমতা যেহেতু সময়-নির্ভরশীল রাশি (ক্ষমতা = কাজ/সময়), তাই কাজ সমান হলেও সময় ভিন্ন হলে ক্ষমতার মানও ভিন্ন হবে।

কোনো বস্তুর ভর ও বেগের গুণফলকে ভরবেগ (momentum) বলে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটি ভূমিকে আঘাত করার সময় এর ভরবেগ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ভূমি স্পর্শ করার পূর্বমুহূর্তে এর বেগ নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে বস্তুর গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সমন্বয় ঘটে, অথবা গতির সমীকরণ ব্যবহার করে ভূমি স্পর্শের পূর্বমুহূর্তের বেগ নির্ণয় করা যায়। বস্তুর ভরবেগ \(p = mv\) যেখানে, \(m\) হলো বস্তুর ভর এবং \(v\) হলো বস্তুর বেগ। নিচের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে শেষ বেগ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো \(v^2 = u^2 + 2gh\), যেখানে \(u\) আদি বেগ, \(g\) অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং \(h\) হলো উচ্চতা।

উদ্দীপক অনুসারে, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটির আদি বেগ \(u = 15 \text{ ms}^{-1}\), উচ্চতা \(h = 10 \text{ m}\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.81 \text{ ms}^{-2}\)। ভূমি স্পর্শ করার পূর্বমুহূর্তে বলটির বেগ \(v\) হবে: \(v^2 = u^2 + 2gh\) \(v^2 = (15 \text{ ms}^{-1})^2 + 2 \times 9.81 \text{ ms}^{-2} \times 10 \text{ m}\) \(v^2 = 225 \text{ m}^2\text{s}^{-2} + 196.2 \text{ m}^2\text{s}^{-2}\) \(v^2 = 421.2 \text{ m}^2\text{s}^{-2}\) \(v = \sqrt{421.2} \text{ ms}^{-1}\) \(v \approx 20.523 \text{ ms}^{-1}\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটির ভর \(m = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}\)। অতএব, ভূমি স্পর্শ করার পূর্বমুহূর্তে বলটির ভরবেগ হবে: \(p = mv\) \(p = 0.05 \text{ kg} \times 20.523 \text{ ms}^{-1}\) \(p \approx 1.026 \text{ kg ms}^{-1}\) সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটি প্রায় 1.026 kg ms^-1 ভরবেগে ভূমিতে আঘাত করে।

বলের ভূমি স্পর্শ করার ফলে সংঘটিত সংঘর্ষ একটি অস্থিতিস্থাপক (inelastic) সংঘর্ষ। এই সংঘর্ষে বল তার যান্ত্রিক শক্তি (mechanical energy) হারায়। উদ্দীপকে বর্ণিত দুটি ভিন্ন ক্ষেত্রে বলের ভূমি স্পর্শ করার সময় হারানো শক্তির পরিমাণ নির্ণয় করে আমরা তুলনা করব কোন ক্ষেত্রে অধিক শক্তি হারাবে।

প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি নির্ণয়:
এখানে, বলের ভর, \(m = 50g = 0.05 \, kg\)
প্রাথমিক উচ্চতা, \(H = 10 \, m\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.81 \, ms^{-2}\)
প্রথম ক্ষেত্রে, বলটিকে 10m উচ্চতা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো, তাই আদি বেগ, \(u_1 = 0 \, ms^{-1}\) ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির বেগ, \(v_1\)
আমরা জানি, \(v_1^2 = u_1^2 + 2gH = 0^2 + 2 \times 9.81 \times 10 = 196.2\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ গতিশক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{before,1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 196.2 = 4.905 \, J\)
ভূমিকম্পের পর বলটি 5m উচ্চতায় উঠে থামে। এই উচ্চতায় বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ বিভব শক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{after,1} = mgh_1 = 0.05 \times 9.81 \times 5 = 2.4525 \, J\)
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_1 = E_{before,1} - E_{after,1} = 4.905 - 2.4525 = 2.4525 \, J\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি নির্ণয়:
এখানে, বলের ভর, \(m = 0.05 \, kg\)
প্রাথমিক উচ্চতা, \(H = 10 \, m\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.81 \, ms^{-2}\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, বলটিকে 10m উচ্চতা থেকে 15ms\(^{-1}\) বেগে খাড়া নিচের দিকে নিক্ষেপ করা হলো, তাই আদি বেগ, \(u_2 = 15 \, ms^{-1}\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির বেগ, \(v_2\)
আমরা জানি, \(v_2^2 = u_2^2 + 2gH = (15)^2 + 2 \times 9.81 \times 10 = 225 + 196.2 = 421.2\)
ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্বে বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ গতিশক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{before,2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 421.2 = 10.53 \, J\)
ভূমিকম্পের পর বলটি 8m উচ্চতায় উঠে থামে। এই উচ্চতায় বলটির মোট যান্ত্রিক শক্তি (যা সম্পূর্ণ বিভব শক্তি রূপে বিদ্যমান):
\(E_{after,2} = mgh_2 = 0.05 \times 9.81 \times 8 = 3.924 \, J\)
সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_2 = E_{before,2} - E_{after,2} = 10.53 - 3.924 = 6.606 \, J\)

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে,
প্রথম ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_1 = 2.4525 \, J\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে হারানো শক্তি, \(\Delta E_2 = 6.606 \, J\)
যেহেতু \(\Delta E_2 > \Delta E_1\), অর্থাৎ, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটি ভূমিতে আঘাত করার সময় অধিক শক্তি হারাবে। এর কারণ হলো, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বলটির আদি গতিশক্তি বেশি থাকায় এটি ভূমিতে বেশি বেগে আঘাত করে, ফলে সংঘর্ষে উৎপন্ন তাপ ও শব্দশক্তির মাধ্যমে বেশি পরিমাণ যান্ত্রিক শক্তি অন্য শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।