কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে ? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

নদীর প্রস্থ (\(d\)) = 10 km

স্রোতের বেগ (\(u\)) = 5 kmh^-1

মাঝিদের স্থির পানিতে নৌকার বেগ (\(v\)) = 10 kmh^-1

কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে তা নির্ণয় করার জন্য উভয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় গণনা করতে হবে। যে মাঝির সময় কম লাগবে, সে-ই আগে পৌঁছাবে।

প্রথম মাঝির ক্ষেত্রে:

প্রথম মাঝি স্রোতের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা করে। উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, \(\alpha\) কোণটি লম্ব দিকের সাথে উপরের দিকে (স্রোতের বিপরীত দিকে) তৈরি হয়েছে। এক্ষেত্রে, মাঝি যদি নদীটি সরাসরি অপর পাড়ে (ন্যূনতম দূরত্বে) অতিক্রম করতে চায়, তবে তাকে এমনভাবে নৌকা চালাতে হবে যেন স্রোতের কারণে তার যে সরণ হয়, তা নৌকার বেগের আনুভূমিক উপাংশ দ্বারা প্রশমিত হয়।

ধরি, মাঝি স্রোতের সাথে লম্ব বরাবর দিক থেকে \(\alpha\) কোণে নৌকা চালায়। ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার জন্য নৌকার বেগের স্রোতের দিকের উপাংশকে স্রোতের বেগের সমান ও বিপরীত হতে হবে। অর্থাৎ,

\(v \sin \alpha = u\)

\(10 \sin \alpha = 5\)

\(\sin \alpha = \frac{5}{10} = 0.5\)

\(\alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v \cos \alpha\)

\(v_y = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) kmh^-1

প্রথম মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_1\)) হবে:

\(t_1 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\) ঘন্টা

\(t_1 \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.1547\) ঘন্টা

দ্বিতীয় মাঝির ক্ষেত্রে:

দ্বিতীয় মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করে। অর্থাৎ, সে তার নৌকাকে নদীর প্রস্থ বরাবর সরাসরি অপর পাড়ের দিকে চালনা করে। এক্ষেত্রে, তার নৌকার বেগই নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকরী বেগ হিসেবে কাজ করবে।

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v = 10\) kmh^-1

দ্বিতীয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_2\)) হবে:

\(t_2 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{10} = 1\) ঘন্টা

এই ক্ষেত্রে মাঝি স্রোতের কারণে কিছুটা দূরে ভেসে যাবে, কিন্তু নদী পার হতে তার সবচেয়ে কম সময় লাগবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:

প্রথম মাঝির নদী পার হতে সময় লাগে প্রায় 1.1547 ঘন্টা, যেখানে দ্বিতীয় মাঝির সময় লাগে 1 ঘন্টা।

যেহেতু \(t_2\) (\(1\) ঘন্টা) < \(t_1\) (\(1.1547\) ঘন্টা), দ্বিতীয় মাঝি প্রথম মাঝির চেয়ে আগে নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে। দ্বিতীয় মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার কৌশল অবলম্বন করায় তার সময় কম লাগবে, যদিও সে স্রোতের কারণে ভেসে যাবে এবং সরাসরি অপর পাড়ে পৌঁছাবে না।