10 km প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে স্রোতের বেগ 5 khm^-1। প্রথম মাঝি 10 kmh^-1 বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং দ্বিতীয় মাঝি 10 kmh^-1 বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করল।

হ্যাঁ, ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল (Non-conservative force)।

যে সকল বল দ্বারা কৃতকাজ বস্তুর গতিপথের উপর নির্ভরশীল এবং একটি পূর্ণচক্রে কৃতকাজের পরিমাণ শূন্য হয় না, তাদের অসংরক্ষণশীল বল বলে। ঘর্ষণ বল সর্বদা গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে এবং এর দ্বারা কৃতকাজ কখনো পুনরুদ্ধার করা যায় না। ঘর্ষণ বলের কারণে যান্ত্রিক শক্তি তাপ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে পরিবেশে ছড়িয়ে পড়ে, অর্থাৎ শক্তি অপচয় ঘটে। এ কারণেই ঘর্ষণ বলকে অসংরক্ষণশীল বল বলা হয়।

প্রথম মাঝি সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য তার লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ (স্রোতের দিকের উপাংশ) শূন্য হতে হবে। এর অর্থ হলো, মাঝির স্রোতের সাপেক্ষে বেগের যে অনুভূমিক উপাংশটি স্রোতের গতিকে প্রশমিত করবে, তার মান স্রোতের বেগের মানের সমান ও বিপরীত হতে হবে। যদি মাঝি স্রোতের দিকের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা শুরু করে, তাহলে তার বেগের অনুভূমিক উপাংশ হবে \(u \cos\alpha\)।

উদ্দীপক অনুযায়ী, স্রোতের বেগ (v) = 5 kmh^-1 এবং প্রথম মাঝির স্রোতের সাপেক্ষে বেগ (u) = 10 kmh^-1। সোজাসুজি নদী পার হওয়ার শর্তানুযায়ী, লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, স্রোতের বেগের দিককে ধনাত্মক ধরে, মোট অনুভূমিক উপাংশ \(v + u \cos\alpha = 0\) হবে।

এই শর্তটি ব্যবহার করে আমরা \(\alpha\) এর মান নির্ণয় করতে পারি:

\(v + u \cos\alpha = 0\)

\(5 + 10 \cos\alpha = 0\)

\(10 \cos\alpha = -5\)

\(\cos\alpha = -\frac{5}{10}\)

\(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\)

\(\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\alpha = 120^\circ\)

সুতরাং, \(\alpha\) কোণের মান \(120^\circ\) হলে প্রথম মাঝি সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাবে।

নদীর প্রস্থ (\(d\)) = 10 km

স্রোতের বেগ (\(u\)) = 5 kmh^-1

মাঝিদের স্থির পানিতে নৌকার বেগ (\(v\)) = 10 kmh^-1

কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে তা নির্ণয় করার জন্য উভয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় গণনা করতে হবে। যে মাঝির সময় কম লাগবে, সে-ই আগে পৌঁছাবে।

প্রথম মাঝির ক্ষেত্রে:

প্রথম মাঝি স্রোতের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা করে। উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, \(\alpha\) কোণটি লম্ব দিকের সাথে উপরের দিকে (স্রোতের বিপরীত দিকে) তৈরি হয়েছে। এক্ষেত্রে, মাঝি যদি নদীটি সরাসরি অপর পাড়ে (ন্যূনতম দূরত্বে) অতিক্রম করতে চায়, তবে তাকে এমনভাবে নৌকা চালাতে হবে যেন স্রোতের কারণে তার যে সরণ হয়, তা নৌকার বেগের আনুভূমিক উপাংশ দ্বারা প্রশমিত হয়।

ধরি, মাঝি স্রোতের সাথে লম্ব বরাবর দিক থেকে \(\alpha\) কোণে নৌকা চালায়। ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার জন্য নৌকার বেগের স্রোতের দিকের উপাংশকে স্রোতের বেগের সমান ও বিপরীত হতে হবে। অর্থাৎ,

\(v \sin \alpha = u\)

\(10 \sin \alpha = 5\)

\(\sin \alpha = \frac{5}{10} = 0.5\)

\(\alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v \cos \alpha\)

\(v_y = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) kmh^-1

প্রথম মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_1\)) হবে:

\(t_1 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\) ঘন্টা

\(t_1 \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.1547\) ঘন্টা

দ্বিতীয় মাঝির ক্ষেত্রে:

দ্বিতীয় মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করে। অর্থাৎ, সে তার নৌকাকে নদীর প্রস্থ বরাবর সরাসরি অপর পাড়ের দিকে চালনা করে। এক্ষেত্রে, তার নৌকার বেগই নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকরী বেগ হিসেবে কাজ করবে।

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v = 10\) kmh^-1

দ্বিতীয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_2\)) হবে:

\(t_2 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{10} = 1\) ঘন্টা

এই ক্ষেত্রে মাঝি স্রোতের কারণে কিছুটা দূরে ভেসে যাবে, কিন্তু নদী পার হতে তার সবচেয়ে কম সময় লাগবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:

প্রথম মাঝির নদী পার হতে সময় লাগে প্রায় 1.1547 ঘন্টা, যেখানে দ্বিতীয় মাঝির সময় লাগে 1 ঘন্টা।

যেহেতু \(t_2\) (\(1\) ঘন্টা) < \(t_1\) (\(1.1547\) ঘন্টা), দ্বিতীয় মাঝি প্রথম মাঝির চেয়ে আগে নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে। দ্বিতীয় মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার কৌশল অবলম্বন করায় তার সময় কম লাগবে, যদিও সে স্রোতের কারণে ভেসে যাবে এবং সরাসরি অপর পাড়ে পৌঁছাবে না।