খেলনা গাড়িতে স্প্রিং যুক্ত করা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর। (অনুধাবন)

কোনো বস্তুর বিভব শক্তি হলো তার অবস্থান বা আকৃতির কারণে সঞ্চিত শক্তি। এটি ভূপৃষ্ঠ বা যেকোনো একটি রেফারেন্স তল থেকে বস্তুর উচ্চতার উপর নির্ভর করে। বিভব শক্তি (U) নির্ণয়ের সূত্র হলো,

\[U = mgh\]

যেখানে, \(m\) = বস্তুর ভর, \(g\) = অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং \(h\) = রেফারেন্স তল থেকে বস্তুর উল্লম্ব উচ্চতা।

উদ্দীপকে বর্ণিত চিত্রানুযায়ী, ববের ভর \(m = 30 \text{ gm} = 0.030 \text{ kg}\)। সুতার দৈর্ঘ্য \(L = \text{OC} = \text{OA} = 1 \text{ m}\)। A বিন্দুতে ববের আনুভূমিক সরণ \(\text{AM} = 30 \text{ cm} = 0.30 \text{ m}\)। আমরা C বিন্দুকে বিভব শক্তির রেফারেন্স তল হিসেবে বিবেচনা করি। A বিন্দুর উল্লম্ব উচ্চতা \(\text{OM}\) নির্ণয় করতে আমরা সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle \text{OMA}\) ব্যবহার করতে পারি। \(\text{OA}^2 = \text{OM}^2 + \text{AM}^2\) থেকে পাই, \(\text{OM} = \sqrt{\text{OA}^2 - \text{AM}^2} = \sqrt{(1 \text{ m})^2 - (0.30 \text{ m})^2} = \sqrt{1 - 0.09} = \sqrt{0.91} \approx 0.9539 \text{ m}\)। C বিন্দু থেকে A বিন্দুর উল্লম্ব উচ্চতা \(h = \text{OC} - \text{OM} = 1 \text{ m} - 0.9539 \text{ m} = 0.0461 \text{ m}\)।

অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\) ধরে, A বিন্দুতে ববের বিভব শক্তি \((U)\) হবে,

\[U = mgh\]

\[U = 0.030 \text{ kg} \times 9.8 \text{ ms}^{-2} \times 0.0461 \text{ m} \approx 0.0135534 \text{ J}\]

সুতরাং, A বিন্দুতে ববের বিভব শক্তি প্রায় \(0.0136 \text{ J}\)।

    ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে কিনা, তা যাচাই করার জন্য যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি প্রয়োগ করা হবে। এক্ষেত্রে, C বিন্দুকে বিভব শক্তির জন্য নির্দেশ তল (reference level) হিসেবে ধরা হবে এবং ধরে নেওয়া হবে যে ববটি A বিন্দু থেকে স্থিতাবস্থায় (rest) ছেড়ে দেওয়া হয়েছে।

    উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:     
ববের ভর, \(m = 30 \text{ gm} = 0.03 \text{ kg}\)     
সুতার দৈর্ঘ্য, \(L = OC = 1 \text{ m}\)     
A বিন্দুর অনুভূমিক সরণ, \(AM = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)     
B বিন্দুর অনুভূমিক সরণ, \(BN = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\)     
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)     
    C বিন্দুকে নির্দেশ তল ধরলে, \(h_C = 0\)।     A বিন্দুর উচ্চতা (\(h_A\)):     চিত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজ OMA থেকে পাই, \(OA^2 = OM^2 + AM^2\)     যেহেতু \(OA = L\),     \(L^2 = OM^2 + AM^2\)     \(1^2 = OM^2 + (0.3)^2\)     \(1 = OM^2 + 0.09\)     \(OM^2 = 1 - 0.09 = 0.91\)     \(OM = \sqrt{0.91} \approx 0.95394 \text{ m}\)     অতএব, \(h_A = OC - OM = L - OM = (1 - \sqrt{0.91}) \text{ m} \approx 1 - 0.95394 = 0.04606 \text{ m}\)     
    B বিন্দুর উচ্চতা (\(h_B\)):     চিত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজ ONB থেকে পাই, \(OB^2 = ON^2 + BN^2\)     যেহেতু \(OB = L\),     \(L^2 = ON^2 + BN^2\)     \(1^2 = ON^2 + (0.2)^2\)     \(1 = ON^2 + 0.04\)     \(ON^2 = 1 - 0.04 = 0.96\)     \(ON = \sqrt{0.96} \approx 0.97980 \text{ m}\)     অতএব, \(h_B = OC - ON = L - ON = (1 - \sqrt{0.96}) \text{ m} \approx 1 - 0.97980 = 0.02020 \text{ m}\)

    যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুসারে, A, B ও C বিন্দুতে মোট যান্ত্রিক শক্তি সমান। যেহেতু বব A বিন্দু থেকে স্থিরাবস্থায় যাত্রা শুরু করে, তাই \(v_A = 0\) এবং \(K_A = 0\)।     C বিন্দুর গতিশক্তি (\(K_C\)):     \(A\) ও \(C\) বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে:     \[K_A + U_A = K_C + U_C\]     \[0 + mgh_A = K_C + 0\]     \[K_C = mgh_A\]     \[K_C = 0.03 \times 9.8 \times (1 - \sqrt{0.91})\]     \[K_C \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.04606\]     \[K_C \approx 0.013546 \text{ J}\]     B বিন্দুর গতিশক্তি (\(K_B\)):     \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে:     \[K_A + U_A = K_B + U_B\]     \[0 + mgh_A = K_B + mgh_B\]     \[K_B = mgh_A - mgh_B\]     \[K_B = mg(h_A - h_B)\]     \[K_B = mg((1 - \sqrt{0.91}) - (1 - \sqrt{0.96}))\]     \[K_B = mg(\sqrt{0.96} - \sqrt{0.91})\]     \[K_B \approx 0.03 \times 9.8 \times (0.97980 - 0.95394)\]     \[K_B \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.02586\]     \[K_B \approx 0.007603 \text{ J}\]

    এখন, C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক:     \[\frac{1}{2}K_C = \frac{1}{2} \times 0.013546 \approx 0.006773 \text{ J}\]     আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(K_B \approx 0.007603 \text{ J}\) এবং \(\frac{1}{2}K_C \approx 0.006773 \text{ J}\)।     সুতরাং, \(K_B \neq \frac{1}{2}K_C\)।     
গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, B বিন্দুতে ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে না।