B বিন্দুতে ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে কিনা—গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

    ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে কিনা, তা যাচাই করার জন্য যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি প্রয়োগ করা হবে। এক্ষেত্রে, C বিন্দুকে বিভব শক্তির জন্য নির্দেশ তল (reference level) হিসেবে ধরা হবে এবং ধরে নেওয়া হবে যে ববটি A বিন্দু থেকে স্থিতাবস্থায় (rest) ছেড়ে দেওয়া হয়েছে।

    উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:     
ববের ভর, \(m = 30 \text{ gm} = 0.03 \text{ kg}\)     
সুতার দৈর্ঘ্য, \(L = OC = 1 \text{ m}\)     
A বিন্দুর অনুভূমিক সরণ, \(AM = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)     
B বিন্দুর অনুভূমিক সরণ, \(BN = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\)     
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)     
    C বিন্দুকে নির্দেশ তল ধরলে, \(h_C = 0\)।     A বিন্দুর উচ্চতা (\(h_A\)):     চিত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজ OMA থেকে পাই, \(OA^2 = OM^2 + AM^2\)     যেহেতু \(OA = L\),     \(L^2 = OM^2 + AM^2\)     \(1^2 = OM^2 + (0.3)^2\)     \(1 = OM^2 + 0.09\)     \(OM^2 = 1 - 0.09 = 0.91\)     \(OM = \sqrt{0.91} \approx 0.95394 \text{ m}\)     অতএব, \(h_A = OC - OM = L - OM = (1 - \sqrt{0.91}) \text{ m} \approx 1 - 0.95394 = 0.04606 \text{ m}\)     
    B বিন্দুর উচ্চতা (\(h_B\)):     চিত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজ ONB থেকে পাই, \(OB^2 = ON^2 + BN^2\)     যেহেতু \(OB = L\),     \(L^2 = ON^2 + BN^2\)     \(1^2 = ON^2 + (0.2)^2\)     \(1 = ON^2 + 0.04\)     \(ON^2 = 1 - 0.04 = 0.96\)     \(ON = \sqrt{0.96} \approx 0.97980 \text{ m}\)     অতএব, \(h_B = OC - ON = L - ON = (1 - \sqrt{0.96}) \text{ m} \approx 1 - 0.97980 = 0.02020 \text{ m}\)

    যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুসারে, A, B ও C বিন্দুতে মোট যান্ত্রিক শক্তি সমান। যেহেতু বব A বিন্দু থেকে স্থিরাবস্থায় যাত্রা শুরু করে, তাই \(v_A = 0\) এবং \(K_A = 0\)।     C বিন্দুর গতিশক্তি (\(K_C\)):     \(A\) ও \(C\) বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে:     \[K_A + U_A = K_C + U_C\]     \[0 + mgh_A = K_C + 0\]     \[K_C = mgh_A\]     \[K_C = 0.03 \times 9.8 \times (1 - \sqrt{0.91})\]     \[K_C \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.04606\]     \[K_C \approx 0.013546 \text{ J}\]     B বিন্দুর গতিশক্তি (\(K_B\)):     \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে:     \[K_A + U_A = K_B + U_B\]     \[0 + mgh_A = K_B + mgh_B\]     \[K_B = mgh_A - mgh_B\]     \[K_B = mg(h_A - h_B)\]     \[K_B = mg((1 - \sqrt{0.91}) - (1 - \sqrt{0.96}))\]     \[K_B = mg(\sqrt{0.96} - \sqrt{0.91})\]     \[K_B \approx 0.03 \times 9.8 \times (0.97980 - 0.95394)\]     \[K_B \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.02586\]     \[K_B \approx 0.007603 \text{ J}\]

    এখন, C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক:     \[\frac{1}{2}K_C = \frac{1}{2} \times 0.013546 \approx 0.006773 \text{ J}\]     আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(K_B \approx 0.007603 \text{ J}\) এবং \(\frac{1}{2}K_C \approx 0.006773 \text{ J}\)।     সুতরাং, \(K_B \neq \frac{1}{2}K_C\)।     
গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, B বিন্দুতে ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে না।