গণিতঃ

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

189

(01)

একটি ভেড়া ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো ভেড়াটি আরও ৮০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ভেড়াটির ক্রয়মুল্য কত?

উত্তরঃ

ধরি, ভেড়াটির ক্রয়মূল্য = $x$ টাকা।

৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য:

$ = x - (x \times \frac{8}{100}) $ টাকা

$ = x - \frac{8x}{100} $ টাকা

$ = \frac{100x - 8x}{100} $ টাকা

$ = \frac{92x}{100} $ টাকা

৮% লাভে বিক্রয়মূল্য:

$ = x + (x \times \frac{8}{100}) $ টাকা

$ = x + \frac{8x}{100} $ টাকা

$ = \frac{100x + 8x}{100} $ টাকা

$ = \frac{108x}{100} $ টাকা

প্রশ্নমতে,

$ \frac{108x}{100} - \frac{92x}{100} = 800 $

$ \frac{108x - 92x}{100} = 800 $

$ \frac{16x}{100} = 800 $

$ 16x = 800 \times 100 $

$ 16x = 80000 $

$ x = \frac{80000}{16} $

$ x = 5000 $

অতএব, ভেড়াটির ক্রয়মূল্য ৫০০০ টাকা।

Satt AI

2 days ago

(02)

৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করাহলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১ । সমষ্টিগত ১০টি সংখ্যার গড় কত?

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ৭টি সংখ্যার গড় = ৪০

$∴$ ৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ $\times ৭ = ২ ৮ ০$

আবার, ৩টি সংখ্যার গড় = ২১

$∴$ ৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ $\times ৩ = ৬ ৩$

এখন, (৭+৩) = ১০টি সংখ্যার যোগফল =২৮০ +৬৭৩ = ৩৪৩

$∴$ ১০টি সংখ্যার গড় = $\frac{৩ ৪ ৩}{১ ০} = ৩ ৪ . ৩$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(03)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: ${(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3}$

উত্তরঃ

দেয়া আছে, ${(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3}$

মনে করি, ‍a-b = x; b-c = y; c-a = z

$∴$ x + y + z =a - b + b - c + c - a =0

এখন, $x^{3} + y^{3} + z^{3} = x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z + 3 x y z .$

কিন্তু আমরা জানি, $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = \frac{1}{2} (x + y + z) {{(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3}} + 3 x y z$

অর্থ্যাৎ $x^{3} + y^{3} + z^{3} = \frac{1}{2} (x + y + z) {{(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3}} + 3 x y z$

$= \frac{1}{2} \times 0 \times {{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}} + 3 x y z = 3 x y z ∴ {(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3} = 3 (a - b) + (b - c) + (c - a) .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

189

MCQ: 253 CQ: 439

Practice

গড় (Average)

গড় (Average)

একজাতীয় কতিপয় রাশির সমষ্টিকে উক্ত রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ রাশিগুলোর গড় বলে।

কয়েকটি সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় বা Average বলা হয়। গড় একটি প্রতিনিধিত্বমূলক মান, যা একটি দলের সাধারণ মান নির্দেশ করে।

আরো সহজভাবে বলা যায় যে, গড় হচ্ছে কয়েকটি ছোট বড় বা অসমান সংখ্যা' বা রাশির মধ্যবিন্দু।

০১ঃ সাধারন গড়

সূত্র ০১. গড় বের করার সূত্রঃ-= (রাশিগুলোর যোগফল বা সমষ্টি/রাশিগুলোর সংখ্যা)
সূত্র-২ঃ রাশিগুলোর সমষ্টি = (রাশিগুলোর গড় $\times$ রাশিগুলোর সংখ্যা)

০২: সংখ্যার গড়

০৩ : ধারাবাহিক সংখ্যার গড়

মনে রাখুন:
যে কোন ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা বেজোড় হলে তাদের মাঝখানের রাশিটি-ই হচ্ছে তাদের গড়।
আবার ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা জোড় হলে তাদের প্রথম ও শেষ রাশির গড় ই হচ্ছে তাদের গড়।
ধারাবাহিক সংখ্যার গড় দেয়া থাকলে তাকে মাঝখানে বসিয়ে দুপাশে সমান সংখ্যক সংখ্যা বসাতে হয়।

০৪: বয়সের গড় (পিতা, মাতা ও পুত্র সহ)

যত জন লোকই থাক:
৫ বছর পরের গড় বয়স হলে গড় ও ৫ বছর বেড়ে যাবে। তেমনি ৫বছর আগের গড় বয়সও ৫ বছর কম ছিল। অর্থাৎ বয়সের কম বেশির সাথে গড় বয়সের কম বেশি সমান হারে হয়।
কিন্তু ৫ বছর পর সমষ্টি বলা হলে যতজনের কথা বলা হবে ততজনের ই ৫ করে বাড়বে। আবার পূর্বের বয়সের কথা বলা হলে সবারই ৫ বছর করে কমবে।
আগে বা পরের গড় বয়স বের করা: এরুপ ক্ষেত্রে বুঝতে হবে যে দুজন এর ই বয়স বেড়েছে। অর্থাৎ যদি বলা হয় যে দুটি শিশুর বয়সের সমষ্টি ১০ বছর। ৩ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি কত হবে। তখন ১০+৩ লেখা যাবে না। কেননা এক্ষেত্রে দুজনেরই বয়স বেড়েছে। তাই ৩ বছর পর তাদের মোট বয়স বাড়বে ৩+৩=৬ বছর। তাই, তখন তাদের মোট বয়স হবে ১০+৬=১৬ বছর। কিন্তু যদি বলা হয় গড় কত হয়েছে? তাহলে গড় হবে ১০+৩ = ১৩ বছর।

৫: ক্রিকেটের গড়

মনে রাখবেন, এক ইনিংস বলতে বোঝায় একটি ম্যাচে একবার ব্যাটিং বা বোলিং করা।
ধরুণ, একজন ব্যাটসম্যান ১টি ম্যাচে ৫০ রান এবং তার পরের ম্যাচে ৩০ রান করল। তাহলে তার দুই ম্যাচে বা দুই ইনিংসের গড় রান হলো ৫০+৩০=৮০÷২=৪০ রান।
আবার বোলারের ক্ষেত্রে যদি কোন বোলার এক ম্যাচে ৩৬ রান দিয়ে ৪ উইকেট পায় তাহলে তার উইকেট প্রতি গড় রান হবে ৩৬÷৪ = ৯রান

গড় নির্ণয়ের সূত্র

$Average = \frac{Sum of observations}{Number of observations}$

উদাহরণ ১

5, 10, 15 এর গড় নির্ণয় কর।

সংখ্যাগুলোর যোগফল = 5 + 10 + 15 = 30

সংখ্যার সংখ্যা = 3

গড় =

$\frac{30}{3}$

= 10

অতএব, গড় = 10

উদাহরণ ২

একজন ছাত্র ৫টি পরীক্ষায় যথাক্রমে 60, 70, 80, 90 ও 100 নম্বর পেয়েছে। তার গড় নম্বর নির্ণয় কর।

মোট নম্বর =

60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400

পরীক্ষার সংখ্যা = 5

গড় =

$\frac{400}{5}$

= 80

অতএব, গড় নম্বর = 80

বৈশিষ্ট্য

গড় একটি কেন্দ্রীয় মান নির্দেশ করে।
সব তথ্যের যোগফল ব্যবহার করা হয়।
পরিসংখ্যানে গড় খুব গুরুত্বপূর্ণ।
গড় ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

“সব সংখ্যার যোগফল ÷ মোট সংখ্যার সংখ্যা = গড়”

Related Question

View All

(ক)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

(a - 1) x^{2} + a^{2} x y + (a + 1) y

BCS 43rd BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

493

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\[ (a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো $(a-1)$।
শেষ পদের সহগ হলো $(a+1)$।
মধ্যপদের সহগ হলো $a^2$।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

\[ (a-1)(a+1) = a^2 - 1 \]

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $(a^2 - 1)$ এবং যোগফল $a^2$।

এই সংখ্যা দুটি হলো $(a^2 - 1)$ এবং $1$।

কারণ, $(a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1$ এবং $(a^2 - 1) + 1 = a^2$।

৪. মধ্যপদ $a^2xy$ কে $(a^2-1)xy + xy$ আকারে বিভক্ত করা যাক:

\[ (a-1)x^2 + (a^2-1)xy + xy + (a+1)y^2 \]

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে $x$ কমন নেওয়া যায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} \]

শেষ দুটি পদ থেকে $y$ কমন নেওয়া যায়:

\[ y \{x + (a+1)y\} \]

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৬. আমরা জানি, $(a^2-1)$ কে $(a-1)(a+1)$ আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

\[ x \{(a-1)x + (a-1)(a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে $(a-1)$ কমন নেওয়া যাক:

\[ x (a-1) \{x + (a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৮. এখন, $\{x + (a+1)y\}$ উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

\[ \{x + (a+1)y\} \{x(a-1) + y\} \]

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

\[ \{x + (a+1)y\} \{(a-1)x + y\} \]

Satt AI

2 weeks ago

493

(খ)

একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হলো । ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?

BCS 41st BCS Written গণিত গড় (Average)

935

Add Explanation

935

(খ)

টাকায় ৪টি চকলেট বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি চকলেট বিক্রয় করতে হবে?

BCS 40th BCS Written গণিত লাভ-ক্ষতি (Profit and loss)

4.2k

উত্তরঃ

পণ্য সংখ্যা=বিক্রিত পণ্যের $\times$ (১০০-ক্ষতি)/(১০০+লাভ)

=৪ $\times$ (১০০-১০)/(১০০+২০)

=৩টি

Abdul Hamid Sumon

2 years ago

4.2k

(ক)

54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.2k

উত্তরঃ

ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে করা যাক।
ধরি, $f (x) = 54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$
x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (- \frac{a}{2}) = 54 {(- \frac{a}{2})}^{4} + 27 {(- \frac{a}{2})}^{3} a - 16 (- \frac{a}{2}) - 8 a = 0$
এখানে, $x = - \frac{a}{2}$ হলে মান ০ হয়।

তাহলে বলা যায়, (2x+a), f(x) এর একটি উৎপাদক।

আবার, ধরি, $f (x) = 27 x^{3} - 8$
আবারও, x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (\frac{2}{3}) = 27 {(\frac{2}{3})}^{3} - 8 = 0$

$∴ (3 x - 2), f (x)$ এর একটি উৎপাদক।

$A n s w e r : (2 x + a) (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

Rupkatha

1 year ago

1.2k

(খ)

12 x^{2} + 35 x + 18

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

375

Add Explanation

375

(খ)

a^{3} + 6 a^{2} b + 11 a b^{2} + 6 b^{3}

কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

BCS 37th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.5k

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি:

$a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

ধরি, $P(a) = a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

এখানে, যদি $a = -b$ বসানো হয়, তাহলে

$P(-b) = (-b)^3 + 6(-b)^2b + 11(-b)b^2 + 6b^3$

$ = -b^3 + 6b^2 \cdot b - 11bb^2 + 6b^3$

$ = -b^3 + 6b^3 - 11b^3 + 6b^3$

$ = (-1 + 6 - 11 + 6)b^3$

$ = (12 - 12)b^3$

$ = 0 \cdot b^3 = 0$

যেহেতু $P(-b) = 0$, উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুসারে $(a - (-b))$ অর্থাৎ $(a+b)$ প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

এখন, প্রদত্ত রাশিকে $(a+b)$ দ্বারা ভাগ করে অথবা পদগুলোকে সাজিয়ে পাই:

$a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

$ = a^3 + a^2b + 5a^2b + 5ab^2 + 6ab^2 + 6b^3$

$ = a^2(a+b) + 5ab(a+b) + 6b^2(a+b)$

এখন, $(a+b)$ কমন নিয়ে পাই:

$ = (a+b)(a^2 + 5ab + 6b^2)$

দ্বিতীয় উৎপাদকটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণ (middle term factorization) করে পাই:

$a^2 + 5ab + 6b^2$

$ = a^2 + 2ab + 3ab + 6b^2$

$ = a(a+2b) + 3b(a+2b)$

$ = (a+2b)(a+3b)$

সুতরাং, সম্পূর্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ হলো:

$(a+b)(a+2b)(a+3b)$

Satt AI

1 week ago

1.5k

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

গণিতঃ

Related Question

Related Question

Promotion