গাণিতিক সমস্যার সমাধান

তথ্য: যেকোনো গবেষণার কাজে ব্যবহারের জন্য অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে সংগৃহীত পর্যবেক্ষণ মান, উপাদান বা বস্তুকে তথ্য বলে। তথ্যনির্ভর বিশ্বে প্রতিনিয়ত আমরা বিভিন্ন তথ্যের ব্যাপক ব্যবহার দেখতে পাই। প্রতিদিন শিক্ষক অধ্যয়নরত শিক্ষার্থীদের হাজিরা রাখেন। প্রতি পরীক্ষার শেষে শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বর সংরক্ষণ করেন এবং এর ওপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের দুর্বলতা চিহ্নিত করেন ও তা দূরীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ব্যবস্থা নেন। এছাড়া দৈনিক পত্রিকা, রেডিও, টেলিভিশন ইত্যাদি গণমাধ্যম থেকে আবহাওয়া, খেলাধুলা, বাজারদর ইত্যাদি সম্পর্কে বিভিন্ন তথ্য পেয়ে থাকি।

উপাত্ত : পরিসংখ্যানে বর্ণিত তথ্যসমূহ যে সকল সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ ও উপস্থাপন করা হয়, তাই হলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত। যেমন, ষষ্ঠ শ্রেণির ১০ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা হলো উপাত্ত। আবার, কোনো স্থানের ১ সপ্তাহের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা অথবা বৃষ্টিপাতের পরিমান সংগ্রহ করলে এটি একটি উপাত্ত হবে।

আমরা জানি, একটি মাত্র সংখ্যা দ্বারা প্রকাশিত উপাত্ত পরিসংখ্যান নয়। তাই কালামের ওজন ৫০ কেজি এটি পরিসংখ্যান নয়। অন্যদিকে, ৬ষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় ওজন ৫০ কেজি এটি পরিসংখ্যানের উপাত্ত। কারণ, ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় ওজন ৫০ কেজি একটি বৈশিষ্ট্য পরিমাপক একাধিক সংখ্যা বুঝায়।

আমার শ্রেণির ১৫ জনের ওজন (কেজিতে) নিচে উপস্থাপন করা হলো:

৪২, ৪৫, ৪৮, ৪৮, ৫০, ৫০, ৫৫, ৫৭, ৫৬, ৪৯, ৫২, ৫৩, ৫২, ৪৪, ৪৯।

এখানে, ১৫ জনের ওজনের সমষ্টি = ৪২ + ৪৫ + ৪৮ + ৪৮ + ৫০ + ৫০ + ৫৫ + ৫৭+৫৬ + ৪৯+৫২+৫৩+৫২+৪৪+৪৯ = ৭৫০

উপাত্তসমূহের সংখ্যা = ১৫

আমরা জানি, গড় = উপাত্তসমূহের সমষ্টি / উপাত্তসমূহের সংখ্যা = $\frac{৭৫০}{১৫}$ বছর = ৫০

নির্ণেয় গড় ৫০ কেজি।

উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১২, ১৩, ১৪, ১৫

এখানে, উপাত্ত সংখ্যা = ৯; যা বিজোড় সংখ্যা।

মধ্যক = উপাত্ত সংখ্যা + ১ / ২ = তম পদ

$\frac{৯+১}{২}$ = $\frac{১০}{২}$ = ৫ম পদ = ১০

নির্ণেয় মধ্যক : ১০।

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

৬০০, ৭০০, ৮০০, ৯০০, ১০৫০, ১১০০, ১২০০, ১৪০০, ১৫০০, ২৫০০

এখানে উপাত্ত সংখ্যা = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

অতএব,

$\text{মধ্যক}=\frac{\text{মধ্যবর্তী সংখ্যা দুটি যোগফল}}{২}$

অর্থাৎ,

$=\frac{\text{৫ম}\text{\hspace{0.17em} পদ}+\text{৬ষ্ঠ}\text{\hspace{0.17em} পদ}}{২}=\frac{১০৫০+১১০০}{২}=\frac{২১৫০}{২}=১০৭৫$

নির্ণেয় মধ্যক = ১০৭৫

উপান্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রম অনুযায়ী সাজিয়ে পাই,
৭, ৯, ১১, ১২, ১৪, ১৬, ১৭, ১৯, ২০, ২১, ২২
এখানে, উপান্ত সংখ্যা ১১; যা বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{\text{উপান্ত সংখ্যা + ১}}{\text{২}}$ তম পদ

= $\frac{১১ + ১}{২}$ তম পদ = $\frac{১২}{২}$ তম পদ

= ৬ তম পদ = ১৬

∴ ৬ তম পদ বা ৬ষ্ঠ পদটি হচ্ছে ১৬, যা মধ্যক।
নির্ণেয় মধ্যক : ১৬।

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,

৫, ৭, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৯, ২০, ২১, ২৩, ২৪, ২৫

এখানে, উপাত্ত সংখ্যা ১৬; যা জোড় সংখ্যা।

মধ্যক = মধ্যবর্তী সংখ্যা দুইটির সমষ্টি / ২

= ৮ম ও ৯ম পদের সমষ্টি / ২

= $\frac{১৪+১৫}{২}$

= $\frac{২৯}{২}$

= ১৪.৫

নির্ণেয় মধ্যক ১৪.৫।

প্রদত্ত উপাত্তসমূহ হলো: ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২
এখানে, উপাত্তে ৮ সংখ্যাটি সর্বাধিক ২ বার আছে।
উপাত্তের সাংখ্যিক মানের প্রচুরক ৮।

প্রদত্ত উপাত্তসমূহ হলো: ৩, ৪, ৬, ৭,৮, ৯, ১০, ১১ এখানে, কোনো সংখ্যাই একবারের বেশি নেই।
তাই সাংখ্যিক মানের উপাত্তসমূহের কোনো প্রচুরক নেই।