গাণিতিক সমস্যার সমাধান

দেওয়া আছে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার

এবং পুকুরের প্রস্থ = ৪০ মিটার

পুকুরটির ক্ষেত্রফল = (৬০ $\times$৪০) বর্গমিটার = ২৪০০ বর্গমিটার

যেহেতু পুকুরের পাড়ের বিস্তার = ৩ মিটার

কাজেই পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = (৬০ + ৩ $\times$২) মিটার

                                                 = (৬০ + ৬) = ৬৬ মিটার

এবং পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = (৪০ + ৩ $\times$২) মিটার

                                             = (৪০ + ৬) = ৪৬ মিটার

পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৬৬ $\times$৪৬) বর্গমিটার

                                            = ৩০৩৬ বর্গমিটার

পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল = (৩০৩৬ – ২৪০০) বর্গমিটার

                                             = ৬৩৬ বর্গমিটার

নির্ণেয় পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল ৬৩৬ বর্গমিটার।

আমরা জানি, ১ একর = ৪০৪৬.৮৬ বর্গমিটার

১০        "                                 = (৪০৪৬.৮৬ $\times$১০)= ৪০৪৬৮.৬ বর্গমিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৪০৪৬৮.৬ বর্গমিটার

মনে করি, ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার

∴ ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (৪ $\times$ ক) মিটার = ৪ক মিটার

∴ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (ক $\times$৪ক) বর্গমিটার

                                = ৪ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,        ৪ক^২ = ৪০৪৬৮.৬

                          ক^২ = $\frac{৪০৪৬৮.৬}{৪}$= ১০১১৭.১৫

                           ক= $\sqrt{১০১১৭.১৫}$ = ১০০.৫৮৪০

∴ ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪ক = (৪$\times$ ১০০.৫৮৪০) মিটার

                                     =৪০২.৩৩৬১ মিটার = ৪০২.৩৪ মিটার (প্রায়)

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৪০২.৩৪ মিটার (প্রায়)।

দেওয়া আছে, মাঠটির দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার এবং

প্রস্থ = ১০ মিটার

আমরা জানি,

আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = ২০ $\times$ ১০ বর্গমিটার

= ২০০ বর্গমিটার

এখন, ১০০ বর্গমিটার = ১ এয়র

∴ ২০০ বর্গমিটার = $\frac{২০০}{১০০}\times ১=২$ এয়র (উত্তর)

মনে করি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার

যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড় গুণ।

আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য= $\left(ক\times ১\frac{১}{২}\right)= \frac{৩ক}{২}$ মিটার

আয়তাকার ঘরটির ক্ষেত্রফল = $\left(\frac{৩ক}{২}\times ক\right)= \frac{৩{ক}^{২}}{২}$  বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{৩{ক}^{২}}{২}২১৬$

   বা ,       ক^২  = ১৪৪

     বা,          ক= $\sqrt{১৪৪}=১২$

∴ আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ, ক = ১২ মিটার

আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য= $\frac{৩ক}{২}=\frac{৩\times ১২}{২}=১৮$ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরটির পরিসীমা =  ২ $\times$(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

                                               =২ $\times$(১৮ + ১২) মিটার

                                               = (২ $\times$৩০) = ৬০ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরটির পরিসীমা ৬০ মিটার।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ভূমি = ২৪ মিটার

এবং উচ্চতা = ১৫ মিটার ৫০ সেন্টিমিটার =$\left(১৫+\frac{৫০}{১০০}\right)=\frac{১৫০০+৫০}{১০০}=\frac{৩১}{২}$ মিটার

        আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =$\frac{১}{২}$ $\times$ভূমি$\times$উচ্চতা

                                                                 = $\left(\frac{১}{২}\times ২৪\times \frac{৩১}{২}\right)=১৮৬$ বর্গমিটার

        ∴  ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮৬ বর্গমিটার।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার

এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ৩২ মিটার ৮০ সে. মি.

                                                  =  $\left(৩২+\frac{৮০}{১০০}\right) [১০০ সে.মি. = ১ মি]$

                                                  = (৩২ + ০.৮০) মিটার

                                                   = ৩২.৮ মিটার

ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য $\times$প্রস্থ)

                             = (৪৮ $\times$৩২.৮) বর্গমিটার

                              = ১৫৭৪.৪ বর্গমিটার

রাস্তাসহ ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (৪৮ + ৩ $\times$২) মিটার = ৫৪ মিটার

এবং রাস্তাসহ ক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৩২.৮+৩ $\times$২) মিটার

                                            = ৩৮.৮ মিটার

∴ রাস্তাসহ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

                                               = (৫৪ $\times$৩৮.৮) বর্গমিটার

                                               = ২০৯৫.২ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল (২০৯৫.২ – ১৫৭৪.৪) বর্গমিটার

                         = ৫২০.৮ বর্গমিটার

নির্ণেয় রাস্তাটির ক্ষেত্রফল ৫২০.৮ বর্গমিটার।

দেওয়া আছে, বর্গাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার

                          বর্গাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৩০০ $\times$৩০০) বর্গমিটার = ৯০০০০ বর্গমিটার

যেহেতু ক্ষেত্রটির বাইরে ৪ মিটার মিটার চওড়া চওড়া একটি রাস্তা আছে।

কাজেই রাস্তাসহ বর্গাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (৩০০ + ৪ $\times$ ২) মিটার = ৩০৮ মিটার

রাস্তাসহ বর্গাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৩০৮ $\times$ ৩০৮) বর্গমিটার = ৯৪৮৬৪ বর্গমিটার

                               রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৯৪৮৬৪ – ৯০০০০) বর্গমিটার = ৪৮৬৪ বর্গমিটার।

নির্ণেয় রাস্তাটির ক্ষেত্রফল ৪৮৬৪ বর্গমিটার।

মনে করি, ত্রিভুজাকৃতি জমিটির উচ্চতা = ক মিটার

ত্রিভুজাকৃতি জমিটির ভূমি = ২২ মিটার

ত্রিভুজাকৃতি জমিটির ক্ষেত্রফল=$\frac{১}{২}\times$ভূমি × উচ্চতা= ১১ক বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, ১১ক = ২৬৪

                   ক= ২৪ মিটার

               ∴  ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ২৪ মিটার।

চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে ১৯২০০ লিটার

আমরা জানি, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে. মি.

১৯২০০ লিটার = (১৯২০০ $\times$১০০০) ঘন সে. মি

                           = ১৯২০০০০০ ঘন সে. মি.

    ∴    চৌবাচ্চাটির আয়তন = ১৯২০০০০০ ঘন সে. মি.

                                             = ১৯.২ ঘন মিটার

                                 [১০০০০০০ ঘন সে.মি. = ১ ঘন মিটার]

চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ২.৫৬ মিটার এবং চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = ২.৫ মিটার

                                             ধরি, চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

∴আয়তন = (গভীরতা $\times$প্রস্থ $\times$দৈর্ঘ্য)

                    = (২.৫৬ $\times$২.৫ $\times$ক) ঘন মিটার = ৬.৪ক ঘন মিটার

প্রশ্নমতে, ৬.৪ক = ১৯.২

ক = $\frac{১৯.২}{৬.৪}=৩$

∴ চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার।

দেওয়া আছে, স্বর্ণের বারটির দৈর্ঘ্য = ৭.৮ সেন্টিমিটার

স্বর্ণের বারটির প্রস্থ = ৬.৪ সেন্টিমিটার

এবং স্বর্ণের বারটির উচ্চতা = ২.৫ সেন্টিমিটার।

স্বর্ণের বারটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য $\times$প্রস্থ $\times$উচ্চতা) ঘন সে. মি.

                                    = (৭,৮ $\times$৬.৪ $\times$২.৫)

                                     = ১২৪.৮ ঘন সে. মি

আমরা জানি, ১ ঘন সে. মি. পানির ওজন = ১ গ্রাম

         ∴          ১২৪.৮     “              ”            = (১ $\times$১২৪.৮) গ্রাম

                                                                    =  ১২৪.৮ গ্রাম

যেহেতু, স্বর্ণ পানির তুলনায় ১৯.৩ গুণ ভারী।

∴ ১২৪.৮ ঘন সে. মি. স্বর্ণের ওজন (১২৪.৮ $\times$১৯.৩) গ্রাম

                                                     = ২৪০৮.৬৪ গ্রাম

∴ স্বর্ণের বারটির ওজন ২৪০৮.৬৪ গ্রাম।

দেওয়া আছে, বাক্সটির দৈর্ঘ্য = ১৫ সে. মি. ২.৪ মি. মি   = $\left(১৫+\frac{২.৪}{১০}\right)$সে.মি  [১০ মি.মি. = ১ সে.মি]

                                                                                         = (১৫ + ২৪) সে. মি. = ১৫.২৪ সে. মি.

বাক্সটির প্রস্থ = ৭ সে. মি. ৬.২ মি. মি= $\left(৭+\frac{৬.২}{১০}\right)$ সে.মি

                                                         $=(৭+০.৬২)=৭.৬২$ সেঃ মি.

বাক্সটির উচ্চতা = ৫ সে. মি. ৮ মি. মি. = $\left(৫+\frac{৮}{১০}\right)$ সে.মি.

                                                           = (৫ + ০.৮) = ৫.৮ সে. মি

∴ বাক্সটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য $\times$প্রস্থ $\times$উচ্চতা)

                            = (১৫.২৪ $\times$৭.৬২ $\times$৫.৮) ঘন সে. মি

                            = ৬৭৩.৫৪৭ ঘন সে. মি. (প্রায়)

∴ বাক্সটির আয়তন ৬৭৩.৫৪৭ ঘন সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ৫.৫ মিটার

                                                    = (৫.৫ $\times$ ১০০) সে. মি. = ৫৫০ সে. মি.

চৌবাচ্চাটির প্রন্থ = ৪ মিটার = (৪ $\times$ ১০০) সে.মি. = ৪০০ সে. মি

এবং চৌবাচ্চাটির উচ্চতা = ২ মিটার

                                          = (২ $\times$১০০) সে.মি. = ২০০ সে. মি.

∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য $\times$প্রস্থ $\times$উচ্চতা) ঘন সে.মি.

                                   = (৫৫০ $\times$৪০০ $\times$২০০) ঘন সে.মি

                                     = ৪৪০০০০০০ ঘন সে.মি.

আমরা জানি,      ১০০০ ঘন সে. . মি. মি.  = ১ ১ লিটার

                        ∴          ১       “         ”        $\frac{১}{১০০০}$  "

                     ৪৪০০০০০০      “        ”              $\frac{১\times ৪৪০০০০০০}{১০০০}=৪৪০০০$ লিটার

∴চৌবাচ্চাটিতে ৪৪০০০ লিটার পানি আছে।

আবার, ১ লিটার পানির ওজন ১ কিলোগ্রাম

            ∴  ৪৪০০০       “         ”          $\left(১\times ৪৪০০০\right)=৪৪০০০$ "

পানির আয়তন ৪৪০০০ লিটার এবং পানির ওজন ৪৪০০০ কিলোগ্রাম      

১.৯০ টাকা ব্যয় হয় ১ বর্গমিটারে

   ১         “          ”  $\frac{১}{১.৯০}$"  

১০২৬০.০০     “        ”       $\frac{১০২৬০.০০\times ১}{১.৯০}$            

                                   = ৫৪০০ বর্গমিটারে

আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৫৪০০ বর্গমিটার

ধরি, মাঠটির প্রস্থ = ক মিটার

এবং মাঠটির দৈর্ঘ্য = (১.৫ $\times$ক) মিটার

প্রশ্নমতে, ক $\times$১.৫ $\times$ক = ৫৪০০

         বা, ১.৫ক^২ = ৫৪০০

              বা,      ক^২ = $\frac{৫৪০০}{১.৫}$=৩৬০০

                 বা,   ক= $\sqrt{৩৬০০}= ৬০$ মিটার

অর্থাৎ প্রস্থ ৬০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য (৬০০১.৫) মিটার বা ৯০ মিটার

মাঠের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ (৯০ + ৬০) মিটার

                            = (২ $\times$১৫০) মিটার = ৩০০ মিটার

  ∴ মাঠের চারদিকে বেড়া দিতে মোট খরচ হবে (৩০০ $\times$২.৫০) টাকা

                                                                  = ৭৫০ টাকা

∴ ঐ মাঠের চারদিকে বেড়া দিতে মোট ৭৫০ টাকা ব্যয় হবে।

ঘরটির প্রস্থ ৩ মিটার কম হলে ৫৭৬ টাকা কম খরচ হতো।

অর্থাৎ ৩ মিটারের খরচ ৫৭৬ টাকা

            ১          “        ”        $\frac{৫৭৬}{৩}$=১৯২

এখন, ১৯২ টাকা খরচ হয় যখন প্রস্থ ১ মিটার

   ∴          ১         “          ”          "           $\frac{১}{১৯২}$

      ∴      ৭২০০   “              ”              "        $\frac{১\times ৭২০০}{১৯২}$  = ৩৭.৫

∴ ঘরটির প্রস্থ ৩৭.৫ মিটার।

দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য ৮০ মি. এবং প্রস্থ ৬০ মি.

∴ আয়তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৬০) বর্গমিটার
= ৪৮০০ বর্গমিটার

যেহেতু বাগানটির ভেতর চারদিকে ৪ মিটার প্রশস্ত একটি পথ আছে।

∴ পথ বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৮০ − ৪×২) মিটার
= (৮০ − ৮) মিটার = ৭২ মিটার

এবং পথ বাদে বাগানের প্রস্থ = (৬০ − ৪×২) মিটার
= (৬০ − ৮) মিটার = ৫২ মিটার

∴ পথ বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = ৭২ × ৫২ = ৩৭৪৪ বর্গমিটার

∴ পথের ক্ষেত্রফল = (৪৮০০ − ৩৭৪৪) = ১০৫৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার পথ বাঁধানোর খরচ ৭.২৫ টাকা

∴ ১০৫৬ বর্গমিটার পথ বাঁধানোর খরচ = (৭.২৫ × ১০৫৬) টাকা
= ৭৬৫৬ টাকা

অতএব, পথ বাঁধানোর খরচ ৭৬৫৬ টাকা। (উত্তর)

চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে ২৮,৯০০ লিটার

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = ২৮,৯০০ লিটার = ২৮,৫০০ / ১০০০ ঘন মি.
[: ১০০০ লি. = ১ ঘন মি.]
= ২৮.৯ ঘন মি.

চৌবাচ্চার গভীরতা = ২.৫ মিটার

∴ চৌবাচ্চার তলার ক্ষেত্রফল = ২৮.৫ / ২.৫ বর্গমিটার
= ১১.৫৬ বর্গমিটার

ধরি, চৌবাচ্চার তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

∴ চৌবাচ্চার তলার ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গমিটার

তাহলে, ক২ = ১১.৫৬ বা, ক = $\sqrt{১১.৫৬}$ ∴ ক = ৩.৪

∴ চৌবাচ্চার তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩.৪ মি.

∴ চৌবাচ্চার চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = ৪ × তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য × গভীরতা
= ৪ × (৩.৪ × ২.৫) বর্গমিটার
= ৪ × ৮.৫ বর্গমিটার
= ৩৪ বর্গমিটার

∴ চৌবাচ্চার তলা এবং চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল
= (১১.৫৬ + ৩৪) বর্গমিটার
= ৪৫.৫৬ বর্গমিটার

সীসার পাতা লাগাতে,
১ বর্গমিটারের খরচ হয় ১২.৫০ টাকা

∴ ৪৫.৫৬ বর্গমিটারের খরচ হয় (১২.৫০ × ৪৫.৫৬) = ৫৬৯.৫০ টাকা

অতএব, সীসার পাতা লাগাতে মোট খরচ হবে ৫৬৯.৫০ টাকা (উত্তর)

ঘরটির মেঝের ২৬ মি. লম্বা ও ২০ মিটার চওড়া

∴ ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = (২৬ × ২০) বর্গমিটার
= ৫২০ বর্গমিটার

১টি মাদুর ৪ মি. লম্বা ও ২.৫ মি. চওড়া

∴ ১টি মাদুরের ক্ষেত্রফল = (৪ × ২.৫) বর্গমিটার
= ১০ বর্গমিটার

মাদুরের সংখ্যা = মেঝের ক্ষেত্রফল ÷ ১টি মাদুরের ক্ষেত্রফল
= ৫২০ ÷ ১০
= ৫২ টি

১টি মাদুরের দাম = ২০০ টাকা

∴ ২৬টি মাদুরের দাম = (২০০ × ৫২) টাকা = ১০৪০০টাকা

অতএব, নির্দিষ্ট মাদুরের সংখ্যা ৫২টি এবং খরচ হবে ১০৪০০টাকা (উত্তর)

২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা

∴ ১ পৃষ্ঠা = ১/২ পাতা

∴ ২০০ পৃষ্ঠা = ½ × ২০০
= ১০০ পাতা

১ পাতা কাগজের পুরুত্ব = ০.১ মি.মি.

∴ ১০০ পাতা কাগজের পুরুত্ব = ০.১ × ১০০ মি.মি.
= ১০.০ মি.মি.

অর্থাৎ বইটির উচ্চতা = ১০ মি.মি. = ১০/১০ সেমি. = ১ সেমি.
[∵ ১০ মি.মি. = ১ সেমি.]

আবার, বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সেমি. এবং প্রস্থ = ১৮ সেমি.

∴ বইটির আয়তন = ২৫ × ১৮ × ১ ঘন সেমি.
= ৪৫০ ঘন সেমি.

নির্ণেয় আয়তন ৪৫০ ঘন সেমি. (উত্তর)

চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মি. = ৩×১০০ সেমি. = ৩০০ সেমি.
প্রস্থ = ২ মি. = ২×১০০ সেমি. = ২০০ সেমি.
উচ্চতা = ১ মি. = ১×১০০ সেমি. = ১০০ সেমি.
[∵ ১০০ সেমি. = ১ মি.]

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = ৩০০ × ২০০ × ১০০ ঘন.সেমি.
= ৬০০০০০০ ঘন. সেমি.

নিরেট ধাতব ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ সেমি.

∴ নিরেট ধাতব ঘনকটির আয়তন = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^৩
= (৫০)^৩ ঘন সেমি.
= ৫০ × ৫০ × ৫০ ঘন সেমি.
= ১২৫০০০ ঘন সেমি.

যেহেতু খালি চৌবাচ্চায় ঘনকটি রাখা ছিল,
∴ চৌবাচ্চার পানির আয়তন = (৬০০০০০০ – ১২৫০০০) ঘন সেমি.
= ৫৮৭৫০০০ ঘন সেমি.
চৌবাচ্চার তলার ক্ষেত্রফল = ৩০০ × ২০০ বর্গ সেমি.
= ৬০০০০ বর্গ সেমি.

∴ ঘনকটি তুলে আনা হলে পানির গভীরতা
= পানির আয়তন ÷ তলার ক্ষেত্রফল
= ৫৮৭৫০০০ ÷ ৬০০০০ সেমি.
= ৯৭.৯২ সেমি. (প্রায়)

অতএব, পানির গভীরতা ৯৭.৯২ সেমি. (প্রায়)

পুকুরটির দৈর্ঘ্য = ৩২ মি.,
প্রস্থ = ২০ মি. এবং গভীরতা = ৩ মি.

∴ পুকুরটির আয়তন = ৩২ × ২০ × ৩ ঘন মি. = ১৯২০ ঘন মি.

∴ পুকুরটির পানির আয়তন = ১৯২০ ঘন মি.

০.১ ঘন মিটার পানি সেচতে পারে ১ সেকেন্ডে

∴ ১ ঘন মিটার পানি সেচতে পারে ১/০.১ সেকেন্ডে

∴ ১৯২০ ঘন মিটার পানি সেচতে পারে= ১৯২০ ÷ ০.১ সেকেন্ডে
= ১৯২০ × ১০ / ১ সেকেন্ডে
= ১৯,২০০ সেকেন্ডে

এখন, ১৯,২০০ সেকেন্ড = ১৯,২০০ ÷ ৬০ মিনিট [∵ ৬০ সেক. = ১ মি.]
= ৩২০ মিনিট

৩২০ মিনিট = ৩২০ ÷ ৬০ ঘণ্টা [∵ ৬০ মি. = ১ ঘণ্টা]
= ৫ ঘণ্টা ২০ মিনিট

∴ পুকুরটি পানি শূন্য করতে ৫ ঘণ্টা ২০ মিনিট সময় লাগবে।