গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

একই জাতীয় দুইটি রাশির তুলনাকে অনুপাত বলে।

অর্থাৎ একটি বস্তুর পরিমাণকে অপর বস্তুর পরিমাণ দ্বারা ভাগ করে বস্তুদ্বয়ের মধ্যে তুলনা করা হয়।

এই ভাগের মাধ্যমে, তুলনাকে অনুপাত বলা হয়।' $\left(:\right)$ চিহ্নটি অনুপাতের গাণিতিক প্রতীক

অনুপাতের দুইটি রাশি একই ধরনের হতে হয়।

তাই একই ধরনের দুইটি রাশির তুলনা করে অনুপাত বের করা হয় বলে এদের কোনো একক থাকে না।

যেমন: দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সে.মি. ও ৯ বর্গ সে.মি. হলে, বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের অনুপাত

=৪ : ৯ বা, $\frac{৪}{৯}$ অনুপাত একটি ভগ্নাংশ

অর্থাৎ, রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোনো একক নেই

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্য = ২৫ মি. ও প্রস্থ = ১৫ মি

শ্রেণিকক্ষের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত =দৈর্ঘ্য/প্রস্থ

                                                        =$\frac{২৫}{১৫}$=$\frac{৩}{৫}$=৫:৩

নির্ণেয় অনুপাত ৫: ৩

দেওয়া আছে,

অদ্রির বয়স = ৮ বছর ৬ মাস

                   = (৮ × ১২ + ৬) মাস

                 = (৯৬ + ৬) মাস

                  = ১০২ মাস

[যেহেতু বছর ও মাস ভিন্ন একক তাই (১২ মাস = ১ বছর)

বছরকে মাসে রূপান্তর করা হলো।

এবং ফাতিহার বয়স = ১০ মাস

অদ্রির বয়স: ফাতিহার বয়স=  ১০২: ১০

                                          = $\frac{১২০}{১০}$

                                        =$\frac{৫১}{৫}$=৫১:৫।

$\therefore$অদ্রি ও ফাতিহার বয়সের অনুপাত= ৫১:৫

কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে এদের অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলে

৩: ৫ এর ৫টি সমতুল অনুপাত হলো:

৩:৫ =$\frac{৩}{৫}$=$\frac{৩\times ২}{৫\times ২}=\frac{৬}{১০}$=৬:১

              =$\frac{৩\times ৩}{৫\times ৩}=\frac{৯}{১৫}$=৯:১৫

$\therefore$৩: ৫ এর দুটি সমতুল অনুপাত হলো: ৬:১০ ও ৯:১৫

দেওয়া আছে,

সরল অনুপাতের ১ম রাশি (পূর্ব রাশি), ২য় রাশি (উত্তর রাশি) থেকে ছোট হলে তা লঘু অনুপাত বলে

যেমন, ৩:৫। অপরদিকে, সরল অনুপাতের ১ম রাশি (পূর্বরাশি), ২য় রাশি (উত্তর রাশি) থেকে বড় হলে তা গুরু অনুপাত। যেমন, ৫: ৩।

৪: ৭ এর ব্যস্ত অনুপাত ৭:৪

এবং ৫: ৩ এর ব্যস্ত অনুপাত ৩:৫

৩:২ এর ব্যস্তানুপাত ২: ৩

এবং ৫: ৮ এর ব্যস্তানুপাত ৮: ৫

$\therefore$২:৩ ও ৮:৫ অনুপাতের মিশ্র অনুপাত হলো:

(২$\times$৮): (৩$\times$৫) = ১৬ : ১৫।

অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৪ + ৫ = ৯

১ম সংখ্যাটি = ৪৫০এর$\frac{৫}{৯}$=$\cancel{{}^{৫০}৪৫০}\times \frac{৫}{\cancel{{৯}_{১}}}=২৫০$

২য় সংখ্যাটি = ৪৫০এর $\frac{৪}{৯}$=$\cancel{{}^{৫০}৪৫০}\times \frac{৪}{\cancel{{৯}_{১}}}=২০০$

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি হলো: ২৫০ ও ২০০

ছাত্র : ছাত্রী = ৩ : ৫

অর্থাৎ, ছাত্রের সংখ্যা ছাত্রীর সংখ্যার$\frac{৩}{৫}$গুণ

দেওয়া আছে, ছাত্রীর সংখ্যা ৩০০ জন

... ছাত্র সংখ্যা =$\cancel{{}^{৬০}৩০০}\times \frac{৩}{\cancel{{৫}_{১}}}$

                        = $৬০\times ৩$

                         =১৮০

নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা ১৮০ জন

মাতা ও ছেলের বয়সের অনুপাত = ৩ : ১ = ৩:১= $\frac{৩}{১}$

এখানে, মাতার বয়স ছেলের বয়সের ৩ গুণ।

$\therefore$ ছেলের বয়স মাতার বয়সের $\frac{৩}{১}$

$\therefore$ছেলের বয়স$\frac{৩}{১}$$\times$মাতার বয়স$\frac{৩}{১}$$\times$৩০ বছর = ১০বছর

$\therefore$ছেলের বয়স ১০ বছর

মিতা ও মিমির উচ্চতার অনুপাত = ১৫২ : ৭৬

                                                   =$\frac{১৫২}{৭৬}$

                                                  =$\frac{২}{১}$

                                                = ২:১

       মিতার উচ্চতা মিমির উচ্চতার $\frac{২}{১}$বা ২ গুণ।

প্রতিটি খাতার মূল্য = ৬০ টাকা

$\therefore$৬টি খাতার মূল্য = (৬ x ৬০) টাকা = ৩৬০ টাকা

প্রতিটি কলমের মূল্য = ১০ টাকা

৩টি কলমের মূল্য = ৩ × ১০ টাকা = ৩০ টাকা

খাতা ও কলমের মূল্যের অনুপাত = ৩৬০: ৩০

                                                     =   $\frac{৩৬০}{৩০}$

                                                   =  $\frac{১২}{১}$

                                                  = ১২: ১

   নির্ণেয় অনুপাত ১২:১

দেলোয়ার সাহেব চাল কিনলেন ৩৬০ টাকার

এবং ডাল কিনলেন ৮০ টাকার

.. চাল ও ডালের দামের অনুপাত=$\frac{৩৬০}{৮০}$=$\frac{৪০\times ৯}{৪০\times ২}$

                                                                =$\frac{৯}{২}$

চাল ও ডালের দামের অনুপাতের সরলীকৃত আকার= $\frac{৯}{২}$

শিহাব ও তার বোনের বয়সের অনুপাত = ৭ : ৪

এখন, ৭ : ৪=$\frac{৭}{৪}$=$\frac{৭\times ২}{৪\times ২}$=$\frac{১৪}{৮}$=১৪:৮

আবার, ৭ : ৪=$\frac{৭\times ৩}{৪\times ৩}$=২১: ১২

নির্ণেয় সমতুল অনুপাত দুইটি ১৪: ৮ ও ২১: ১২

এখানে, বাগানের দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার

এবং বাগানের প্রস্থ = ৩ মিটার

$\therefore$বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = ৫:৩

বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

                             = (৫ × ৩) বর্গমিটার

                            = ১৫ বর্গমিটার

এখানে পরীক্ষার মোট নম্বর ৬০০

এবং পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর ৩৬০

পরীক্ষার মোট নম্বর ও প্রাপ্ত নম্বরের অনুপাত = ৬০০: ৩৬০

                                                                      =$\frac{৬০০}{৩৬০}$

                                                                     =$\frac{৬০}{৩৬}$

                                                                     =$\frac{৫}{৩}$=৫:৩

          নির্ণেয় অনুপাত ৫: ৩

একটি স্কুলে ছেলে আছে ৪৫০ জন এবং মেয়ে আছে ৫০০ জন

স্কুলের ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাত=$\frac{৪৫০}{৫০০}$=$\frac{৯\times ৫০}{১০\times ৫০}$

                                                                              =$\frac{৯}{১০}$

                                                                              = ৯ : ১০

স্কুলের ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাতের সরলীকৃত আকার = ৯ : ১০

এখানে, পাকা পেয়ারা = ১৫টি

$\therefore$ কাঁচা পেয়ারা = (৭৫ – ১৫)টি = ৬০টি

কাঁচা পেয়ারা পাকা পেয়ারা ৬০ : ১৫ = ৪ : ১

নির্ণেয় অনুপাত ৪: ১