গ্রাডিয়েন্ট কাকে বলে ?

উত্তরঃ

ভেক্টরের ডাইভারজেন্সের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো হলো:

    
• এটি একটি স্কেলার রাশি, যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে।
    
• এটি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট বিন্দুতে একক আয়তন থেকে নির্গত বা অভিসারী ফ্লাক্সের (flux) পরিমাণ নির্দেশ করে।
    
• ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (positive divergence) ঐ বিন্দুতে একটি উৎসের (source) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো উৎপন্ন হয় বা বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ে।
    
• ঋণাত্মক ডাইভারজেন্স (negative divergence) ঐ বিন্দুতে একটি সিঙ্কের (sink) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো প্রবেশ করে বা ভেতরের দিকে একত্রিত হয়।
    
• যদি ডাইভারজেন্সের মান শূন্য হয়, তবে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রকে সোলেনয়ডাল ক্ষেত্র (solenoidal field) বলা হয়, অর্থাৎ ঐ বিন্দুতে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই, কেবল ক্ষেত্র রেখার অবিচ্ছিন্ন প্রবাহ থাকে।

ডাইভারজেন্স মূলত একটি ভেক্টর অপারেটর যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের (যেমন: তড়িৎ ক্ষেত্র, চৌম্বক ক্ষেত্র বা তরল প্রবাহ ক্ষেত্র) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে ঐ ক্ষেত্রের উৎস বা সিঙ্কের উপস্থিতি এবং শক্তি পরিমাপ করে। এর মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশির "প্রসারিত" বা "সংকুচিত" হওয়ার প্রবণতা বোঝা যায়, যা ক্ষেত্রটির ঘনত্ব পরিবর্তনকে সূচিত করে।

উত্তরঃ

দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক (Moment of inertia) নির্ণয়ের জন্য এর ভর, দৈর্ঘ্য এবং এটি যে অক্ষ বরাবর আবর্তিত হচ্ছে তার অবস্থান জানা আবশ্যক। উদ্দীপকে প্রদত্ত আয়তাকার দণ্ডটি তার এক প্রান্ত দিয়ে অতিক্রমকারী এবং দৈর্ঘ্যের সাথে লম্ব একটি অক্ষ বরাবর আবর্তিত হচ্ছে, যা চিত্রে স্পষ্টভাবে প্রদর্শিত।

একটি সুষম দণ্ড তার এক প্রান্ত দিয়ে অতিক্রমকারী ও দৈর্ঘ্যের লম্ব অক্ষ বরাবর আবর্তিত হলে তার জড়তার ভ্রামকের সূত্রটি হলো \(I = \frac{1}{3}Ml^2\)। উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, দণ্ডটির ভর \(M = 0.5 \, \text{kg}\) এবং দৈর্ঘ্য \(l = 1 \, \text{m}\)।

এখন, প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(I = \frac{1}{3} \times M \times l^2\)

\(I = \frac{1}{3} \times 0.5 \, \text{kg} \times (1 \, \text{m})^2\)

\(I = \frac{1}{3} \times 0.5 \times 1 \, \text{kg m}^2\)

\(I = \frac{0.5}{3} \, \text{kg m}^2\)

\(I \approx 0.167 \, \text{kg m}^2\)

সুতরাং, দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক হবে প্রায় \(0.17 \, \text{kg m}^2\)।

উত্তরঃ

হ্যাঁ, দণ্ডটিকে 1m ব্যাসের পাতলা চাকতিতে পরিণত করলে এর জড়তার ভ্রামকের (Moment of Inertia) পরিবর্তন হবে। জড়তার ভ্রামক বস্তুর ভর এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরের বন্টনের উপর নির্ভরশীল। বস্তুর আকার বা আকৃতির পরিবর্তন হলে ভরের বন্টন পরিবর্তিত হয়, যার ফলে জড়তার ভ্রামকেও পরিবর্তন আসে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত দণ্ডটির জন্য:

    
• ভর (M) = 0.5 kg
    
• দৈর্ঘ্য (L) = 1 m

দণ্ডটি তার এক প্রান্তের সাপেক্ষে আবর্তিত হলে তার জড়তার ভ্রামক হবে: \[I_{দণ্ড} = \frac{1}{3}ML^2\] মান বসিয়ে পাই: \[I_{দণ্ড} = \frac{1}{3} \times 0.5 \times (1)^2\] \[I_{দণ্ড} = \frac{0.5}{3}\] \[I_{দণ্ড} \approx 0.1667 \text{ kg m}^2\]

যখন এই দণ্ডটিকে 1m ব্যাসের পাতলা চাকতিতে পরিণত করা হয়, তখন চাকতিটির ভর দণ্ডটির ভরের সমান থাকবে:

    
• ভর (M) = 0.5 kg
    
• ব্যাস = 1 m, সুতরাং ব্যাসার্ধ (R) = 1/2 = 0.5 m

একটি পাতলা চাকতি তার কেন্দ্রগামী এবং তলের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তিত হলে তার জড়তার ভ্রামক হবে: \[I_{চাকতি} = \frac{1}{2}MR^2\] মান বসিয়ে পাই: \[I_{চাকতি} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.5)^2\] \[I_{চাকতি} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 0.25\] \[I_{চাকতি} = 0.25 \times 0.25\] \[I_{চাকতি} = 0.0625 \text{ kg m}^2\]

পর্যবেক্ষণে দেখা যায় যে, দণ্ডের জড়তার ভ্রামক \(I_{দণ্ড} \approx 0.1667 \text{ kg m}^2\) এবং চাকতির জড়তার ভ্রামক \(I_{চাকতি} = 0.0625 \text{ kg m}^2\)। যেহেতু \(I_{দণ্ড} \neq I_{চাকতি}\), তাই দণ্ডটিকে চাকতিতে পরিণত করলে জড়তার ভ্রামকের পরিবর্তন হবে। এই পরিবর্তন ঘটে কারণ দণ্ডকে চাকতিতে রূপান্তরিত করার ফলে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরের বন্টন পরিবর্তিত হয়। দণ্ডের ক্ষেত্রে ভর ঘূর্ণন অক্ষ থেকে তুলনামূলকভাবে বেশি দূরে বন্টিত ছিল (বিশেষ করে যখন এক প্রান্ত থেকে ঘোরানো হয়), কিন্তু চাকতির ক্ষেত্রে ভর ঘূর্ণন অক্ষের (কেন্দ্র) কাছাকাছি বেশি ঘনীভূত হয়, ফলে জড়তার ভ্রামক হ্রাস পায়।