যদি দণ্ডটিকে 1m ব্যাসের পাতলা চাকতিতে পরিণত করা হয় তবে জড়তার ভ্রামকের কোনো পরিবর্তন হবে কি ?

ভেক্টর অপারেটর নেবলা (∇) দ্বারা কোনো স্কেলার ফাংশনকে (যেমন: বিভব, তাপমাত্রা) স্থান সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে যে ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায়, তাকে গ্রাডিয়েন্ট বলে। এটি স্কেলার ফাংশনটির মানের সর্বাধিক পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশ করে।

ভেক্টরের ডাইভারজেন্সের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো হলো:

    
• এটি একটি স্কেলার রাশি, যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে।
    
• এটি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট বিন্দুতে একক আয়তন থেকে নির্গত বা অভিসারী ফ্লাক্সের (flux) পরিমাণ নির্দেশ করে।
    
• ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (positive divergence) ঐ বিন্দুতে একটি উৎসের (source) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো উৎপন্ন হয় বা বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ে।
    
• ঋণাত্মক ডাইভারজেন্স (negative divergence) ঐ বিন্দুতে একটি সিঙ্কের (sink) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো প্রবেশ করে বা ভেতরের দিকে একত্রিত হয়।
    
• যদি ডাইভারজেন্সের মান শূন্য হয়, তবে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রকে সোলেনয়ডাল ক্ষেত্র (solenoidal field) বলা হয়, অর্থাৎ ঐ বিন্দুতে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই, কেবল ক্ষেত্র রেখার অবিচ্ছিন্ন প্রবাহ থাকে।

ডাইভারজেন্স মূলত একটি ভেক্টর অপারেটর যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের (যেমন: তড়িৎ ক্ষেত্র, চৌম্বক ক্ষেত্র বা তরল প্রবাহ ক্ষেত্র) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে ঐ ক্ষেত্রের উৎস বা সিঙ্কের উপস্থিতি এবং শক্তি পরিমাপ করে। এর মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশির "প্রসারিত" বা "সংকুচিত" হওয়ার প্রবণতা বোঝা যায়, যা ক্ষেত্রটির ঘনত্ব পরিবর্তনকে সূচিত করে।

দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক (Moment of inertia) নির্ণয়ের জন্য এর ভর, দৈর্ঘ্য এবং এটি যে অক্ষ বরাবর আবর্তিত হচ্ছে তার অবস্থান জানা আবশ্যক। উদ্দীপকে প্রদত্ত আয়তাকার দণ্ডটি তার এক প্রান্ত দিয়ে অতিক্রমকারী এবং দৈর্ঘ্যের সাথে লম্ব একটি অক্ষ বরাবর আবর্তিত হচ্ছে, যা চিত্রে স্পষ্টভাবে প্রদর্শিত।

একটি সুষম দণ্ড তার এক প্রান্ত দিয়ে অতিক্রমকারী ও দৈর্ঘ্যের লম্ব অক্ষ বরাবর আবর্তিত হলে তার জড়তার ভ্রামকের সূত্রটি হলো \(I = \frac{1}{3}Ml^2\)। উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, দণ্ডটির ভর \(M = 0.5 \, \text{kg}\) এবং দৈর্ঘ্য \(l = 1 \, \text{m}\)।

এখন, প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(I = \frac{1}{3} \times M \times l^2\)

\(I = \frac{1}{3} \times 0.5 \, \text{kg} \times (1 \, \text{m})^2\)

\(I = \frac{1}{3} \times 0.5 \times 1 \, \text{kg m}^2\)

\(I = \frac{0.5}{3} \, \text{kg m}^2\)

\(I \approx 0.167 \, \text{kg m}^2\)

সুতরাং, দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক হবে প্রায় \(0.17 \, \text{kg m}^2\)।