ঘনত্ব কাকে বলে?

কোনো বস্তুকে তরলে নিমজ্জিত করলে বস্তুর ওজন কমেছে বলে মনে হয় কারণ তরল বস্তুর উপর একটি ঊর্ধ্বমুখী বল প্রয়োগ করে, যাকে প্লবতা (Buoyant force) বলে। এই প্লবতা বস্তুর প্রকৃত ওজনকে আংশিকভাবে প্রতিহত করে, যার ফলে বস্তুর ওজন কম অনুভূত হয়।

আর্কিমিডিসের সূত্রানুসারে, কোনো বস্তুকে স্থির তরলে আংশিক বা সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি যে পরিমাণ তরল অপসারণ করে, সেই অপসারিত তরলের ওজনের সমান একটি ঊর্ধ্বমুখী বল (প্লবতা) বস্তুর উপর ক্রিয়া করে। এই ঊর্ধ্বমুখী বল বস্তুর ওজনের বিপরীত দিকে কাজ করে এবং এর ফলে বস্তুর আপাত ওজন (apparent weight) হ্রাস পায় বলে অনুভূত হয়।

পানির প্রকৃত প্রসারণ নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে তামার পাত্রের প্রসারণ বের করতে হবে। তামার পাত্রের প্রসারণ এবং পানির আপাত প্রসারণের সমষ্টিই হলো পানির প্রকৃত প্রসারণ।

কোনো তরলের প্রকৃত প্রসারণ হলো তার আপাত প্রসারণ এবং পাত্রের প্রসারণের যোগফল। তরলকে উত্তপ্ত করলে তরল ও পাত্র উভয়ই প্রসারিত হয়। তরলের যে প্রসারণ আমরা সরাসরি পরিমাপ করি, তা পাত্রের প্রসারণের সাপেক্ষে হয়, তাই একে আপাত প্রসারণ বলে। প্রকৃত প্রসারণ পেতে হলে পাত্রের প্রসারণকেও হিসাবে আনতে হয়।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী:

    
• তামার পাত্রের প্রাথমিক তাপমাত্রা \(T_1 = 23^\circ C\)
    
• চূড়ান্ত তাপমাত্রা \(T_f = 65^\circ C\)
    
• তাপমাত্রা বৃদ্ধি \(\Delta T = T_f - T_1 = 65^\circ C - 23^\circ C = 42^\circ C\)
    
• তামার আয়তন প্রসারণ সহগ \(\gamma_{copper} = 50.1 \times 10^{-6} K^{-1}\)
    
• পানির প্রাথমিক আয়তন (এবং পাত্রের ভেতরের প্রাথমিক আয়তন) \(V_{initial} = 200 mL\)
    
• পানির আপাত প্রসারণ = \(1.49 mL\)

তামার পাত্রের প্রসারণ \(\Delta V_{container}\) নির্ণয়:

\[ \Delta V_{container} = V_{initial} \times \gamma_{copper} \times \Delta T \] \[ \Delta V_{container} = 200 \times 50.1 \times 10^{-6} \times 42 \] \[ \Delta V_{container} = 420840 \times 10^{-6} \] \[ \Delta V_{container} = 0.42084 mL \]

সুতরাং, পানির প্রকৃত প্রসারণ = পানির আপাত প্রসারণ + তামার পাত্রের প্রসারণ

\[ \text{পানির প্রকৃত প্রসারণ} = 1.49 mL + 0.42084 mL \] \[ \text{পানির প্রকৃত প্রসারণ} = 1.91084 mL \]

অতএব, পানির প্রকৃত প্রসারণ \(1.91084 mL\)।

উদ্দীপকের ঘটনাটি তাপ গতিবিদ্যা অংশের ক্যালরিমিতির মূলনীতি সংক্রান্ত একটি সমস্যা। ক্যালরিমিতির মূলনীতি অনুসারে, তাপীয় সাম্যাবস্থায় দুটি ভিন্ন তাপমাত্রার বস্তুর মধ্যে তাপের আদান-প্রদানে কোনো তাপ নষ্ট না হলে, বস্তুদয় কর্তৃক বর্জিত মোট তাপ, গৃহীত মোট তাপের সমান হয়। অর্থাৎ, বর্জিত তাপ = গৃহীত তাপ। এই নীতি ব্যবহার করে আমরা প্রথমে তামার আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করব এবং পরবর্তীতে চূড়ান্ত তাপমাত্রা 5°C বৃদ্ধির জন্য প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত পানির পরিমাণ গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করব।

প্রথমত, উদ্দীপকের প্রথম অংশ থেকে তামার আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করি।

দেওয়া আছে:

তামার পাত্রের ভর, \(m_c\) = 500 g = 0.5 kg

তামার পাত্রের প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_{c1}\) = 23°C

পানির ভর, \(m_w\) = 200 ml = 200 g = 0.2 kg (যেহেতু পানির ঘনত্ব 1000 kg/m³ বা 1 g/cm³)

পানির প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_{w1}\) = 75°C

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, \(T_f\) = 65°C

পানির আপেক্ষিক তাপ, \(c_w\) = 4200 J kg^-1 K^-1 (প্রমাণ মান)

তামার আপেক্ষিক তাপ, \(c_c\) = ?

এখানে, পানি তাপ বর্জন করবে এবং তামার পাত্র তাপ গ্রহণ করবে।

পানি কর্তৃক বর্জিত তাপ, \(Q_w = m_w c_w (T_{w1} - T_f)\)

\(Q_w = 0.2 \times 4200 \times (75 - 65)\)

\(Q_w = 0.2 \times 4200 \times 10\)

\(Q_w = 8400\) J

তামার পাত্র কর্তৃক গৃহীত তাপ, \(Q_c = m_c c_c (T_f - T_{c1})\)

\(Q_c = 0.5 \times c_c \times (65 - 23)\)

\(Q_c = 0.5 \times c_c \times 42\)

\(Q_c = 21 c_c\) J

ক্যালরিমিতির মূলনীতি অনুসারে, বর্জিত তাপ = গৃহীত তাপ

\(Q_w = Q_c\)

\(8400 = 21 c_c\)

\(c_c = \frac{8400}{21}\)

\(c_c = 400\) J kg^-1 K^-1

সুতরাং, তামার আপেক্ষিক তাপ 400 J kg^-1 K^-1।

এবার, চূড়ান্ত তাপমাত্রা আরও 5°C বৃদ্ধি করতে অতিরিক্ত কতটুকু পানির প্রয়োজন তা নির্ণয় করি। নতুন চূড়ান্ত তাপমাত্রা হবে \(T'_f\) = 65°C + 5°C = 70°C। ধরা যাক, অতিরিক্ত পানির ভর \(m_{additional}\)। তাহলে মোট পানির ভর হবে \(m'_{w}\) = (0.2 + \(m_{additional}\)) kg। তামার পাত্রের প্রাথমিক তাপমাত্রা (23°C) এবং পানির প্রাথমিক তাপমাত্রা (75°C) অপরিবর্তিত থাকবে।

নতুন অবস্থায় তামার পাত্র কর্তৃক গৃহীত তাপ, \(Q'_c = m_c c_c (T'_f - T_{c1})\)

\(Q'_c = 0.5 \times 400 \times (70 - 23)\)

\(Q'_c = 0.5 \times 400 \times 47\)

\(Q'_c = 200 \times 47\)

\(Q'_c = 9400\) J

মোট পানি কর্তৃক বর্জিত তাপ, \(Q'_w = m'_w c_w (T_{w1} - T'_f)\)

\(Q'_w = (0.2 + m_{additional}) \times 4200 \times (75 - 70)\)

\(Q'_w = (0.2 + m_{additional}) \times 4200 \times 5\)

\(Q'_w = (0.2 + m_{additional}) \times 21000\) J

ক্যালরিমিতির মূলনীতি অনুসারে, \(Q'_w = Q'_c\)

\((0.2 + m_{additional}) \times 21000 = 9400\)

\(0.2 + m_{additional} = \frac{9400}{21000}\)

\(0.2 + m_{additional} \approx 0.447619\)

\(m_{additional} \approx 0.447619 - 0.2\)

\(m_{additional} \approx 0.247619\) kg

সুতরাং, অতিরিক্ত পানির পরিমাণ প্রায় 0.2476 kg বা 247.6 g। যেহেতু 1g পানির আয়তন 1 ml, অতিরিক্ত পানির আয়তন হবে প্রায় 247.6 ml। উদ্দীপকের অন্যান্য তথ্য যেমন পানির আপাত প্রসারণ এবং তামার আয়তন প্রসারণ সহগ এই গাণিতিক সমস্যার জন্য অপ্রাসঙ্গিক।