চাঁদকে একটি সুষম গোলক বিবেচনা করা হলো। ধরা যাক চাদের কেন্দ্র হতে 2x10m উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ ঘূর্ণনরত আছে। চাঁদের পরিধি = 10.048×10⁶m এবং ঘনত্ব = 1742.3 kgm^-3

পার্কিং কক্ষপথ হলো এমন একটি মধ্যবর্তী কক্ষপথ যেখানে একটি মহাকাশযানকে তার চূড়ান্ত কক্ষপথে প্রবেশের পূর্বে সাময়িকভাবে স্থাপন করা হয়।

পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে উপরের দিকে \(h\) উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_h\) এর মান যে সূত্র মেনে চলে তা হলো:

\[g_h = g \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\]

এখানে, \(g\) হলো পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(R\) হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং \(h\) হলো ভূপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা। এই সূত্রানুযায়ী, ভূপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা বৃদ্ধির সাথে সাথে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হ্রাস পায়, কারণ \(R+h\) এর মান বৃদ্ধি পাওয়ায় ভগ্নাংশটির মান কমে যায় এবং এর বর্গের মান আরও বেশি কমে যায়, ফলে \(g_h\) এর মান কমে যায়।

চাঁদের পরিধি থেকে এর ব্যাসার্ধ (R) এবং প্রদত্ত ঘনত্ব (\(\rho\)) থেকে চাঁদের ভর (M) নির্ণয় করতে হবে। এখানে, চাঁদের পরিধি, \(C = 10.048 \times 10^6 \text{ m}\) এবং চাঁদের ঘনত্ব, \(\rho = 1742.3 \text{ kgm}^{-3}\)।

প্রথমে চাঁদের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যাক: \(R = \frac{C}{2\pi} = \frac{10.048 \times 10^6}{2 \times 3.14159} \approx 1.60 \times 10^6 \text{ m}\)। এরপর চাঁদের ভর \(M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3\) সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়। চাঁদের ভর, \(M = 1742.3 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (1.60 \times 10^6)^3 \approx 2.99 \times 10^{22} \text{ kg}\)। উদ্দীপকে কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা "চাদের কেন্দ্র হতে 2x10m" উল্লেখ করা হয়েছে। চাঁদের ব্যাসার্ধের (\(1.60 \times 10^6 \text{ m}\)) তুলনায় এটি একটি অস্বাভাবিক ছোট দূরত্ব, যা নির্দেশ করে উপগ্রহটি চাঁদের পৃষ্ঠের নিচে ঘূর্ণনরত। যেহেতু এটি একটি কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষপথ, তাই এটি বাস্তবসম্মত নয়। এই অসঙ্গতি দূর করার জন্য, আমরা ধরে নিচ্ছি যে কক্ষপথের ব্যাসার্ধটি সম্ভবত \(2 \times 10^6 \text{ m}\) হবে, যা চাঁদের ব্যাসার্ধের চেয়ে বেশি এবং একটি কার্যকর কক্ষপথের জন্য যুক্তিযুক্ত।

সুতরাং, কৃত্রিম উপগ্রহটির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = 2 \times 10^6 \text{ m}\)। কক্ষপথে ঘূর্ণনরত কৃত্রিম উপগ্রহের রৈখিক বেগ (v) নির্ণয়ের সূত্র হলো \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\), যেখানে \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক যার মান \(6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)। এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (2.99 \times 10^{22} \text{ kg})}{2 \times 10^6 \text{ m}}}\] \[v = \sqrt{\frac{19.94626 \times 10^{11}}{2 \times 10^6}}\] \[v = \sqrt{9.97313 \times 10^5}\] \[v = \sqrt{997313}\] \[v \approx 998.65 \text{ m/s}\]

অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহটির রৈখিক বেগের মান প্রায় \(998.65 \text{ m/s}\) (মিটার প্রতি সেকেন্ড)।

কোনো বস্তুকে যদি কোনো মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র থেকে চিরতরে মুক্ত করতে হয়, তবে তাকে একটি নির্দিষ্ট ন্যূনতম বেগে নিক্ষেপ করতে হয়, যা মুক্তিবেগ (Escape velocity) নামে পরিচিত। এই বেগের চেয়ে বেশি বেগে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে অসীমে চলে যায়। এই প্রশ্নটিতে চাঁদের পৃষ্ঠ থেকে উৎক্ষেপিত কৃত্রিম উপগ্রহের চূড়ান্ত পরিণতি বিশ্লেষণ করতে এর উৎক্ষেপণ বেগ এবং চাঁদের মুক্তিবেগের তুলনা করতে হবে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য থেকে চাঁদের পরিধি \(C = 10.048 \times 10^6 \text{ m}\) এবং ঘনত্ব \(\rho = 1742.3 \text{ kgm}^{-3}\)।

প্রথমে চাঁদের ব্যাসার্ধ \(R\) নির্ণয় করি:

\(C = 2\pi R\)

\(R = \frac{C}{2\pi} = \frac{10.048 \times 10^6}{2 \times 3.14159} \approx 1.600 \times 10^6 \text{ m}\)

এবার চাঁদের আয়তন \(V\) নির্ণয় করি:

\(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3.14159 \times (1.600 \times 10^6)^3 \approx 1.7107 \times 10^{19} \text{ m}^3\)

চাঁদের ভর \(M\) নির্ণয় করি:

\(M = \rho V = 1742.3 \times 1.7107 \times 10^{19} \approx 2.980 \times 10^{22} \text{ kg}\)

চাঁদের পৃষ্ঠ থেকে মুক্তিবেগ \(v_e\) নির্ণয় করি:

\(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)

এখানে, \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\) (মহাকর্ষীয় ধ্রুবক)।

\(v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 2.980 \times 10^{22}}{1.600 \times 10^6}}\)

\(v_e = \sqrt{\frac{3.9755 \times 10^{12}}{1.600 \times 10^6}} = \sqrt{2.4847 \times 10^6}\)

\(v_e \approx 1576.3 \text{ m/s} = 1.5763 \text{ km/s}\)

প্রশ্নানুযায়ী, কৃত্রিম উপগ্রহটিকে \(1.7538 \text{ kms}^{-1}\) বেগে চাঁদের পৃষ্ঠ থেকে উৎক্ষেপণ করা হয়েছে। এটিই উপগ্রহটির উৎক্ষেপণ বেগ (\(v_L\))।

আমরা দেখতে পাচ্ছি, উৎক্ষেপণ বেগ \(v_L = 1.7538 \text{ km/s}\) এবং চাঁদের মুক্তিবেগ \(v_e = 1.5763 \text{ km/s}\)। যেহেতু \(v_L > v_e\), অর্থাৎ উৎক্ষেপণ বেগ চাঁদের মুক্তিবেগের চেয়ে বেশি, তাই কৃত্রিম উপগ্রহটি চাঁদের মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে চিরতরে অসীমে চলে যাবে। এটি আর চাঁদের দিকে ফিরে আসবে না বা এর কক্ষপথেও ঘুরবে না।

উপসংহারে বলা যায়, চাঁদের পৃষ্ঠ থেকে \(1.7538 \text{ kms}^{-1}\) বেগে উৎক্ষেপণ করা হলে কৃত্রিম উপগ্রহটি চাঁদের মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র থেকে মুক্ত হয়ে যাবে এবং মহাকাশে তার যাত্রা অব্যাহত রাখবে। এই বিশ্লেষণ নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র এবং শক্তি সংরক্ষণশীলতার নীতির উপর ভিত্তি করে করা হয়েছে।