চিত্রে, △ABC এর AP, BQ এবং CR মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। আবার OM || PQ

এখানে, △XYZ এ ∠Y = 90° বা এক সমকোণ এবং YT$\perp$XZ প্রমাণ করতে হবে যে △XYZ এবং △XYT সদৃশ।

প্রমাণ: △XYZ, এবং △XYT এ,

∠XYZ = ∠XTY [প্রত্যেকে এক সমকোণ]

এবং ∠YXZ  = ∠YXT [সাধারণ কোণ]

$\therefore$ ∠XZY = ∠XYT [অবশিষ্ট কোণ]

$\therefore$ △XYZ এবং △XYT সদৃশ। (প্রমাণিত)

এখানে, △ ABC-এর BC বাহুর উপর মধ্যমা AP। A, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB+ AC > 2AP.

অঙ্কন : AP কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত -করি যেন, AP PE হয়। E, C যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. △ADD এবং ECP-এ  

BP = CP [P, BC-এর মধ্যবিন্দু]

AP = EP [অঙ্কন অনুসারে]

∠APB = ∠EPC [বিপ্রতীপ কোণ]

$\therefore$ △ABP $\equiv$ △ECP [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ AB = EC

ধাপ ২. এখন, △ AEC-এ,

AC + EC > AE [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, AC + AB > AP + PE [(১) থেকে]

বা, AB + AC > AP + AP

$\therefore$ AB + AC > 2AP. (প্রমাণিত)

এখানে, △ ABC-এ AP ও BQ মধ্যমান্বয় পরস্পর ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং OM || PQ । প্রমাণ করতে হবে যে, AC = 6MQ.

প্রমাণ:

ধাপ ১: △ ABC এর AP, BQ এবং CR মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু।

$\therefore$AO : OP = 2 : 1 [ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু এদের 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে]

বা, $\frac{AO}{OP}=\frac{2}{1}$

$\therefore$ AO = 20P

ধাপ ২: △ APQ-এ, PQ || OM

$\frac{AO}{OP}=\frac{AF}{FE}$

বা, $\frac{2GD}{GD}=\frac{AM}{QM}$[ধাপ (১) হতে]

বা, $\frac{AM}{QM}=2$

বা, AM = 2QM

ধাপ ৩: এখানে, AQ = AM + QM

= 2QM + QM [ধাপ (২) হতে]

= 3QM

ধাপ ৪: আবার, AC = 2AQ [AC রেখা Q বিন্দুতে BQ মধ্যমা দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়]

বা, AC = 2.3QM [AC = 2.3QM]

AC = 6MQ (প্রমাণিত)