$∆$ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু P ও Q হলে, $∆$ABC ও $∆$APQ এর অনুপাত নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

অনুপাত ও সমানুপাতের তিনটি ধর্ম হলো:

(i) a : b=x : y এবংc : d=x : y হলে, a : b= c : d হবে।

(ii) a : b=b : a হলে, ab হবে।

(iii) a : b=c : d হলে, ad=bc (আড়গুনন)

অনুপাত ও সমানুপাতের যোজন বিয়োজন সম্পর্কিত ধর্ম হলো:

(i) a : b= x : y হলে, a+b : b= x+y : y হবে। (যোজন) এবং a : b=x : y হলে, a-b : b=x-y : y হবে। (বিয়োজন)

$\left(ii\right)\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$হলে $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$[যোজন ও বিয়োজন]

অনুপাত ও সমানুপাতের ব্যস্তকরণ ধর্মটি হলো:

a : b=x : y হলে, b : a=y : x হবে এবং অনুপাত ও সমানুপাতের একান্তরকরণ ধর্মটি হলো: a : b=x : y হলে a : x=b : y হবে।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC ও DEF এর ভূমি যথাক্রমে BC = a, EF=d এবং উভয় ক্ষেত্রের উচ্চতা h.

সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times a\times h$

ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times d\times h$

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল

সুতরাং, দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের উচ্চতা সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হবে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে এর অর্ধেক।

অর্থাৎ $EF=\frac{1}{2}BC$

বা, $2EF=BC$

বা, $\frac{2}{1}=\frac{BC}{EF}$

$\therefore$ $BC : EF = 2 : 1$

নির্ণেয় অনুপাত 2 : 1.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

চিত্রে, ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল PQ সরলরেখা AB ও AC কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

$\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}$

$AP : PB$ = $AQ : QC$

নির্ণেয় AP : PB = AQ : QC.