চিত্রে MA, $\angle$LMN এর সমদ্বিখন্ডক এবং মধ্যমা। B. MN এর মধ্যবিন্দু এবং GC || AB.

△LMN এ MA, ∠LMN এর সমদ্বিখন্ডক এবং MA$\perp$LN.

এখন, △MLA ও △MΝΑ

সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের

∠LMA = ∠NMA  [MA, ∠LMN এর সমদ্বিখণ্ডক]

∠MAL = ∠MAN

এবং MA = MA [সাধারণ বাহু]

$\therefore$ △MLA $\equiv$ △MΝΑ (দেখানো হলো)

মনে করি, MA রেখাংশ এ MLN এর অন্তঃস্থ ∠LMN কে সমদ্বিখণ্ডিত করে LN বাহুকে A বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, LA : AN = LM : MN.

অঙ্কন : MA রেখাংশের সমান্তরাল করে N বিন্দু দিয়ে NE রেখাংশ অঙ্কন করি যেন তা বর্ধিত LM কে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ :

ধাপ ১ : এখানে, MA || NE এবং MN তাদের ছেদক [অঙ্কনানুসারে]

∠MEN = ∠LMA [অনুরূপ কোণ]

এবং ∠MNE = ∠NMA [একান্তর কোণ]

ধাপ ২: কিন্তু ∠LMA = ∠NMA

$\therefore$ ∠MEN = ∠MNE [স্বীকার]

$\therefore$ MN = ME

ধাপ ৩: আবার যেহেতু AM || NE

$\therefore$ $\frac{LA}{{\rm N}{\rm A}}=\frac{LM}{{\rm M}{\rm E}}$

কিন্তু ME = MN

$\therefore$ $\frac{LA}{AN}=\frac{LM}{MN}$ [ধাপ (২) হতে]

সুতরাং LA : AN = LM : MN. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, △LMN এ MA, ∠LMN এর সমদ্বিখণ্ডক এবং GC || AB

প্রমাণ করতে হবে যে, MN = 6BC

প্রমাণ:

ধাপ-১: △MAB-এ, GC || AB

$\therefore$ $\frac{MG}{GA}=\frac{MC}{BC}$ [মধ্যমান্বয় এদের ছেদবিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়। $\therefore$ MG : GA = 2 : 1 ]

বা, $\frac{2MG}{GA}=\frac{MC}{BC}$

বা, $\frac{MC}{BC}=2$

বা, MC = 2BC

ধাপ-২: এখানে MB = MC + CB = 2BC + BC = 3BC

ধাপ-৩: আবার, MN = 2MB [MN রেখা B বিন্দুতে LB দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়]

বা, MN = 2 $\times$ 3BC

$\therefore$ MN = 6BC (প্রমাণিত)